Theorem qmulz 9207

Description: If A is rational, then some integer multiple of it is an integer. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qmulz	|- ( A e. QQ -> E. x e. NN ( A x. x ) e. ZZ )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem qmulz

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9206	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. y e. ZZ E. x e. NN A = ( y / x ) )
2		rexcom 2545	. . 3 |- ( E. y e. ZZ E. x e. NN A = ( y / x ) <-> E. x e. NN E. y e. ZZ A = ( y / x ) )
3		zcn 8853	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
4	3	adantl 272	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ y e. ZZ ) -> y e. CC )
5		nncn 8528	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> x e. CC )
6	5	adantr 271	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ y e. ZZ ) -> x e. CC )
7		nnap0 8549	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> x # 0 )
8	7	adantr 271	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ y e. ZZ ) -> x # 0 )
9	4, 6, 8	divcanap1d 8355	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN /\ y e. ZZ ) -> ( ( y / x ) x. x ) = y )
10		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN /\ y e. ZZ ) -> y e. ZZ )
11	9, 10	eqeltrd 2171	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. ZZ ) -> ( ( y / x ) x. x ) e. ZZ )
12		oveq1 5697	. . . . . . 7 |- ( A = ( y / x ) -> ( A x. x ) = ( ( y / x ) x. x ) )
13	12	eleq1d 2163	. . . . . 6 |- ( A = ( y / x ) -> ( ( A x. x ) e. ZZ <-> ( ( y / x ) x. x ) e. ZZ ) )
14	11, 13	syl5ibrcom 156	. . . . 5 |- ( ( x e. NN /\ y e. ZZ ) -> ( A = ( y / x ) -> ( A x. x ) e. ZZ ) )
15	14	rexlimdva 2502	. . . 4 |- ( x e. NN -> ( E. y e. ZZ A = ( y / x ) -> ( A x. x ) e. ZZ ) )
16	15	reximia 2480	. . 3 |- ( E. x e. NN E. y e. ZZ A = ( y / x ) -> E. x e. NN ( A x. x ) e. ZZ )
17	2, 16	sylbi 120	. 2 |- ( E. y e. ZZ E. x e. NN A = ( y / x ) -> E. x e. NN ( A x. x ) e. ZZ )
18	1, 17	sylbi 120	1 |- ( A e. QQ -> E. x e. NN ( A x. x ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1296   e. wcel 1445   E.wrex 2371   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690   CCcc 7445   0cc0 7447   x. cmul 7452   # cap 8155   / cdiv 8236   NNcn 8520   ZZcz 8848   QQcq 9203

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-z 8849  df-q 9204

This theorem is referenced by: (None)