ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qmulz Unicode version

Theorem qmulz 9427
Description: If  A is rational, then some integer multiple of it is an integer. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
qmulz  |-  ( A  e.  QQ  ->  E. x  e.  NN  ( A  x.  x )  e.  ZZ )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem qmulz
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9426 . 2  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  NN  A  =  ( y  /  x ) )
2 rexcom 2595 . . 3  |-  ( E. y  e.  ZZ  E. x  e.  NN  A  =  ( y  /  x )  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  ZZ  A  =  ( y  /  x ) )
3 zcn 9071 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
43adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  CC )
5 nncn 8740 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  CC )
65adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  e.  CC )
7 nnap0 8761 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  x #  0 )
87adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  ZZ )  ->  x #  0 )
94, 6, 8divcanap1d 8563 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  /  x )  x.  x
)  =  y )
10 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  ZZ )
119, 10eqeltrd 2216 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  /  x )  x.  x
)  e.  ZZ )
12 oveq1 5781 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( y  /  x )  ->  ( A  x.  x )  =  ( ( y  /  x )  x.  x ) )
1312eleq1d 2208 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( y  /  x )  ->  (
( A  x.  x
)  e.  ZZ  <->  ( (
y  /  x )  x.  x )  e.  ZZ ) )
1411, 13syl5ibrcom 156 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( A  =  ( y  /  x )  ->  ( A  x.  x )  e.  ZZ ) )
1514rexlimdva 2549 . . . 4  |-  ( x  e.  NN  ->  ( E. y  e.  ZZ  A  =  ( y  /  x )  ->  ( A  x.  x )  e.  ZZ ) )
1615reximia 2527 . . 3  |-  ( E. x  e.  NN  E. y  e.  ZZ  A  =  ( y  /  x )  ->  E. x  e.  NN  ( A  x.  x )  e.  ZZ )
172, 16sylbi 120 . 2  |-  ( E. y  e.  ZZ  E. x  e.  NN  A  =  ( y  /  x )  ->  E. x  e.  NN  ( A  x.  x )  e.  ZZ )
181, 17sylbi 120 1  |-  ( A  e.  QQ  ->  E. x  e.  NN  ( A  x.  x )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   E.wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   CCcc 7630   0cc0 7632    x. cmul 7637   # cap 8355    / cdiv 8444   NNcn 8732   ZZcz 9066   QQcq 9423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-z 9067  df-q 9424
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator