Theorem qmulz 9814

Description: If A is rational, then some integer multiple of it is an integer. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qmulz	|- ( A e. QQ -> E. x e. NN ( A x. x ) e. ZZ )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem qmulz

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9813	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. y e. ZZ E. x e. NN A = ( y / x ) )
2		rexcom 2695	. . 3 |- ( E. y e. ZZ E. x e. NN A = ( y / x ) <-> E. x e. NN E. y e. ZZ A = ( y / x ) )
3		zcn 9447	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ y e. ZZ ) -> y e. CC )
5		nncn 9114	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> x e. CC )
6	5	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ y e. ZZ ) -> x e. CC )
7		nnap0 9135	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> x # 0 )
8	7	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ y e. ZZ ) -> x # 0 )
9	4, 6, 8	divcanap1d 8934	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN /\ y e. ZZ ) -> ( ( y / x ) x. x ) = y )
10		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN /\ y e. ZZ ) -> y e. ZZ )
11	9, 10	eqeltrd 2306	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. ZZ ) -> ( ( y / x ) x. x ) e. ZZ )
12		oveq1 6007	. . . . . . 7 |- ( A = ( y / x ) -> ( A x. x ) = ( ( y / x ) x. x ) )
13	12	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( A = ( y / x ) -> ( ( A x. x ) e. ZZ <-> ( ( y / x ) x. x ) e. ZZ ) )
14	11, 13	syl5ibrcom 157	. . . . 5 |- ( ( x e. NN /\ y e. ZZ ) -> ( A = ( y / x ) -> ( A x. x ) e. ZZ ) )
15	14	rexlimdva 2648	. . . 4 |- ( x e. NN -> ( E. y e. ZZ A = ( y / x ) -> ( A x. x ) e. ZZ ) )
16	15	reximia 2625	. . 3 |- ( E. x e. NN E. y e. ZZ A = ( y / x ) -> E. x e. NN ( A x. x ) e. ZZ )
17	2, 16	sylbi 121	. 2 |- ( E. y e. ZZ E. x e. NN A = ( y / x ) -> E. x e. NN ( A x. x ) e. ZZ )
18	1, 17	sylbi 121	1 |- ( A e. QQ -> E. x e. NN ( A x. x ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000   CCcc 7993   0cc0 7995   x. cmul 8000   # cap 8724   / cdiv 8815   NNcn 9106   ZZcz 9442   QQcq 9810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-z 9443  df-q 9811

This theorem is referenced by: (None)