Theorem qmulz 9594

Description: If A is rational, then some integer multiple of it is an integer. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qmulz	|- ( A e. QQ -> E. x e. NN ( A x. x ) e. ZZ )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem qmulz

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9593	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. y e. ZZ E. x e. NN A = ( y / x ) )
2		rexcom 2639	. . 3 |- ( E. y e. ZZ E. x e. NN A = ( y / x ) <-> E. x e. NN E. y e. ZZ A = ( y / x ) )
3		zcn 9229	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ y e. ZZ ) -> y e. CC )
5		nncn 8898	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> x e. CC )
6	5	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ y e. ZZ ) -> x e. CC )
7		nnap0 8919	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> x # 0 )
8	7	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ y e. ZZ ) -> x # 0 )
9	4, 6, 8	divcanap1d 8720	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN /\ y e. ZZ ) -> ( ( y / x ) x. x ) = y )
10		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN /\ y e. ZZ ) -> y e. ZZ )
11	9, 10	eqeltrd 2252	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. ZZ ) -> ( ( y / x ) x. x ) e. ZZ )
12		oveq1 5872	. . . . . . 7 |- ( A = ( y / x ) -> ( A x. x ) = ( ( y / x ) x. x ) )
13	12	eleq1d 2244	. . . . . 6 |- ( A = ( y / x ) -> ( ( A x. x ) e. ZZ <-> ( ( y / x ) x. x ) e. ZZ ) )
14	11, 13	syl5ibrcom 157	. . . . 5 |- ( ( x e. NN /\ y e. ZZ ) -> ( A = ( y / x ) -> ( A x. x ) e. ZZ ) )
15	14	rexlimdva 2592	. . . 4 |- ( x e. NN -> ( E. y e. ZZ A = ( y / x ) -> ( A x. x ) e. ZZ ) )
16	15	reximia 2570	. . 3 |- ( E. x e. NN E. y e. ZZ A = ( y / x ) -> E. x e. NN ( A x. x ) e. ZZ )
17	2, 16	sylbi 121	. 2 |- ( E. y e. ZZ E. x e. NN A = ( y / x ) -> E. x e. NN ( A x. x ) e. ZZ )
18	1, 17	sylbi 121	1 |- ( A e. QQ -> E. x e. NN ( A x. x ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2146   E.wrex 2454   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   CCcc 7784   0cc0 7786   x. cmul 7791   # cap 8512   / cdiv 8601   NNcn 8890   ZZcz 9224   QQcq 9590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-z 9225  df-q 9591

This theorem is referenced by: (None)