Theorem znq 9782

Description: The ratio of an integer and a positive integer is a rational number. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
znq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )

Proof of Theorem znq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2207	. . 3 |- ( A / B ) = ( A / B )
2		rspceov 6012	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN /\ ( A / B ) = ( A / B ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. NN ( A / B ) = ( x / y ) )
3	1, 2	mp3an3 1339	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> E. x e. ZZ E. y e. NN ( A / B ) = ( x / y ) )
4		elq 9780	. 2 |- ( ( A / B ) e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN ( A / B ) = ( x / y ) )
5	3, 4	sylibr 134	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   E.wrex 2487  (class class class)co 5969   / cdiv 8782   NNcn 9073   ZZcz 9409   QQcq 9777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-mulrcl 8061  ax-addcom 8062  ax-mulcom 8063  ax-addass 8064  ax-mulass 8065  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-1rid 8069  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-precex 8072  ax-cnre 8073  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-ltwlin 8075  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-apti 8077  ax-pre-ltadd 8078  ax-pre-mulgt0 8079  ax-pre-mulext 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-po 4362  df-iso 4363  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-sub 8282  df-neg 8283  df-reap 8685  df-ap 8692  df-div 8783  df-inn 9074  df-z 9410  df-q 9778

This theorem is referenced by:  qnegcl  9794  qreccl  9800  nnrecq  9803  elpqb  9808  qbtwnre  10438  adddivflid  10474  fldivnn0  10477  divfl0  10478  flhalf  10484  fldivnn0le  10485  flltdivnn0lt  10486  fldiv4p1lem1div2  10487  fldiv4lem1div2uz2  10488  fldiv4lem1div2  10489  intfracq  10504  flqdiv  10505  zmodcl  10528  iexpcyc  10828  facavg  10930  bcval  10933  eirraplem  12249  dvdsmod  12334  divalglemnn  12390  divalgmod  12399  flodddiv4  12408  flodddiv4t2lthalf  12411  bitsdc  12419  bitsp1  12423  bitsp1o  12425  bitsfzolem  12426  bitsfzo  12427  bitsmod  12428  bitscmp  12430  bitsinv1lem  12433  modgcd  12473  qredeu  12580  sqrt2irraplemnn  12662  sqrt2irrap  12663  divnumden  12679  hashdvds  12704  prmdiv  12718  phisum  12724  odzdvds  12729  pcdiv  12786  pcaddlem  12823  pcmptdvds  12829  fldivp1  12832  pcfaclem  12833  pcfac  12834  pcbc  12835  4sqlem5  12866  4sqlem6  12867  4sqlem10  12871  mulgmodid  13658  logbgcd1irraplemap  15602  gausslemma2dlem0d  15690  gausslemma2dlem1a  15696  gausslemma2dlem1cl  15697  gausslemma2dlem1f1o  15698  gausslemma2dlem3  15701  gausslemma2dlem4  15702  gausslemma2dlem5a  15703  gausslemma2dlem5  15704  gausslemma2dlem6  15705  lgseisenlem2  15709  lgseisenlem4  15711  lgseisen  15712  lgsquadlem1  15715  lgsquadlem2  15716  2lgslem1a2  15725  2lgslem1  15729  2lgslem2  15730  ex-fl  15969  ex-ceil  15970