ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  znq Unicode version

Theorem znq 9442
Description: The ratio of an integer and a positive integer is a rational number. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
znq  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  QQ )

Proof of Theorem znq
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2140 . . 3  |-  ( A  /  B )  =  ( A  /  B
)
2 rspceov 5820 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN  /\  ( A  /  B )  =  ( A  /  B
) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  ( A  /  B )  =  ( x  /  y ) )
31, 2mp3an3 1305 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  ( A  /  B )  =  ( x  /  y
) )
4 elq 9440 . 2  |-  ( ( A  /  B )  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  ( A  /  B )  =  ( x  /  y ) )
53, 4sylibr 133 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1332    e. wcel 1481   E.wrex 2418  (class class class)co 5781    / cdiv 8455   NNcn 8743   ZZcz 9077   QQcq 9437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-z 9078  df-q 9438
This theorem is referenced by:  qnegcl  9454  qreccl  9460  nnrecq  9463  elpqb  9467  qbtwnre  10064  adddivflid  10095  fldivnn0  10098  divfl0  10099  flhalf  10105  fldivnn0le  10106  flltdivnn0lt  10107  fldiv4p1lem1div2  10108  intfracq  10123  flqdiv  10124  zmodcl  10147  iexpcyc  10427  facavg  10523  bcval  10526  eirraplem  11517  dvdsmod  11594  divalglemnn  11649  divalgmod  11658  flodddiv4  11665  flodddiv4t2lthalf  11668  modgcd  11713  qredeu  11812  sqrt2irraplemnn  11891  sqrt2irrap  11892  divnumden  11908  hashdvds  11931  logbgcd1irraplemap  13092  ex-fl  13106  ex-ceil  13107
  Copyright terms: Public domain W3C validator