ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  znq Unicode version

Theorem znq 9384
Description: The ratio of an integer and a positive integer is a rational number. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
znq  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  QQ )

Proof of Theorem znq
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2117 . . 3  |-  ( A  /  B )  =  ( A  /  B
)
2 rspceov 5781 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN  /\  ( A  /  B )  =  ( A  /  B
) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  ( A  /  B )  =  ( x  /  y ) )
31, 2mp3an3 1289 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  ( A  /  B )  =  ( x  /  y
) )
4 elq 9382 . 2  |-  ( ( A  /  B )  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  ( A  /  B )  =  ( x  /  y ) )
53, 4sylibr 133 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   E.wrex 2394  (class class class)co 5742    / cdiv 8400   NNcn 8688   ZZcz 9022   QQcq 9379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-z 9023  df-q 9380
This theorem is referenced by:  qnegcl  9396  qreccl  9402  nnrecq  9405  qbtwnre  10002  adddivflid  10033  fldivnn0  10036  divfl0  10037  flhalf  10043  fldivnn0le  10044  flltdivnn0lt  10045  fldiv4p1lem1div2  10046  intfracq  10061  flqdiv  10062  zmodcl  10085  iexpcyc  10365  facavg  10460  bcval  10463  eirraplem  11410  dvdsmod  11487  divalglemnn  11542  divalgmod  11551  flodddiv4  11558  flodddiv4t2lthalf  11561  modgcd  11606  qredeu  11705  sqrt2irraplemnn  11784  sqrt2irrap  11785  divnumden  11801  hashdvds  11824  ex-fl  12864  ex-ceil  12865
  Copyright terms: Public domain W3C validator