ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  znq Unicode version

Theorem znq 9600
Description: The ratio of an integer and a positive integer is a rational number. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
znq  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  QQ )

Proof of Theorem znq
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . 3  |-  ( A  /  B )  =  ( A  /  B
)
2 rspceov 5910 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN  /\  ( A  /  B )  =  ( A  /  B
) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  ( A  /  B )  =  ( x  /  y ) )
31, 2mp3an3 1326 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  ( A  /  B )  =  ( x  /  y
) )
4 elq 9598 . 2  |-  ( ( A  /  B )  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  ( A  /  B )  =  ( x  /  y ) )
53, 4sylibr 134 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   E.wrex 2456  (class class class)co 5868    / cdiv 8605   NNcn 8895   ZZcz 9229   QQcq 9595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-z 9230  df-q 9596
This theorem is referenced by:  qnegcl  9612  qreccl  9618  nnrecq  9621  elpqb  9625  qbtwnre  10230  adddivflid  10265  fldivnn0  10268  divfl0  10269  flhalf  10275  fldivnn0le  10276  flltdivnn0lt  10277  fldiv4p1lem1div2  10278  intfracq  10293  flqdiv  10294  zmodcl  10317  iexpcyc  10597  facavg  10697  bcval  10700  eirraplem  11755  dvdsmod  11838  divalglemnn  11893  divalgmod  11902  flodddiv4  11909  flodddiv4t2lthalf  11912  modgcd  11962  qredeu  12067  sqrt2irraplemnn  12149  sqrt2irrap  12150  divnumden  12166  hashdvds  12191  prmdiv  12205  phisum  12210  odzdvds  12215  pcdiv  12272  pcaddlem  12308  pcmptdvds  12313  fldivp1  12316  pcfaclem  12317  pcfac  12318  pcbc  12319  4sqlem5  12350  4sqlem6  12351  4sqlem10  12355  mulgmodid  12897  logbgcd1irraplemap  14020  ex-fl  14099  ex-ceil  14100
  Copyright terms: Public domain W3C validator