Theorem znq 9819

Description: The ratio of an integer and a positive integer is a rational number. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
znq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )

Proof of Theorem znq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- ( A / B ) = ( A / B )
2		rspceov 6044	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN /\ ( A / B ) = ( A / B ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. NN ( A / B ) = ( x / y ) )
3	1, 2	mp3an3 1360	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> E. x e. ZZ E. y e. NN ( A / B ) = ( x / y ) )
4		elq 9817	. 2 |- ( ( A / B ) e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN ( A / B ) = ( x / y ) )
5	3, 4	sylibr 134	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509  (class class class)co 6001   / cdiv 8819   NNcn 9110   ZZcz 9446   QQcq 9814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-z 9447  df-q 9815

This theorem is referenced by:  qnegcl  9831  qreccl  9837  nnrecq  9840  elpqb  9845  qbtwnre  10476  adddivflid  10512  fldivnn0  10515  divfl0  10516  flhalf  10522  fldivnn0le  10523  flltdivnn0lt  10524  fldiv4p1lem1div2  10525  fldiv4lem1div2uz2  10526  fldiv4lem1div2  10527  intfracq  10542  flqdiv  10543  zmodcl  10566  iexpcyc  10866  facavg  10968  bcval  10971  eirraplem  12288  dvdsmod  12373  divalglemnn  12429  divalgmod  12438  flodddiv4  12447  flodddiv4t2lthalf  12450  bitsdc  12458  bitsp1  12462  bitsp1o  12464  bitsfzolem  12465  bitsfzo  12466  bitsmod  12467  bitscmp  12469  bitsinv1lem  12472  modgcd  12512  qredeu  12619  sqrt2irraplemnn  12701  sqrt2irrap  12702  divnumden  12718  hashdvds  12743  prmdiv  12757  phisum  12763  odzdvds  12768  pcdiv  12825  pcaddlem  12862  pcmptdvds  12868  fldivp1  12871  pcfaclem  12872  pcfac  12873  pcbc  12874  4sqlem5  12905  4sqlem6  12906  4sqlem10  12910  mulgmodid  13698  logbgcd1irraplemap  15643  gausslemma2dlem0d  15731  gausslemma2dlem1a  15737  gausslemma2dlem1cl  15738  gausslemma2dlem1f1o  15739  gausslemma2dlem3  15742  gausslemma2dlem4  15743  gausslemma2dlem5a  15744  gausslemma2dlem5  15745  gausslemma2dlem6  15746  lgseisenlem2  15750  lgseisenlem4  15752  lgseisen  15753  lgsquadlem1  15756  lgsquadlem2  15757  2lgslem1a2  15766  2lgslem1  15770  2lgslem2  15771  ex-fl  16089  ex-ceil  16090