Theorem znq 10034

Description: The ratio of an integer and a positive integer is a rational number. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
znq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )

Proof of Theorem znq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( A / B ) = ( A / B )
2		rspceov 6128	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN /\ ( A / B ) = ( A / B ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. NN ( A / B ) = ( x / y ) )
3	1, 2	mp3an3 1367	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> E. x e. ZZ E. y e. NN ( A / B ) = ( x / y ) )
4		elq 10032	. 2 |- ( ( A / B ) e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN ( A / B ) = ( x / y ) )
5	3, 4	sylibr 134	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529  (class class class)co 6085   / cdiv 9005   NNcn 9307   ZZcz 9649   QQcq 10029

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-z 9650  df-q 10030

This theorem is used by:  qnegcl  10046  qreccl  10052  nnrecq  10055  elpqb  10061  qbtwnre  10702  adddivflid  10742  fldivnn0  10745  divfl0  10746  flhalf  10752  fldivnn0le  10753  flltdivnn0lt  10754  fldiv4p1lem1div2  10755  fldiv4lem1div2uz2  10756  fldiv4lem1div2  10757  intfracq  10772  flqdiv  10773  zmodcl  10796  iexpcyc  11096  facavg  11200  bcval  11203  eirraplem  12563  dvdsmod  12648  divalglemnn  12704  divalgmod  12713  flodddiv4  12722  flodddiv4t2lthalf  12725  bitsdc  12733  bitsp1  12737  bitsp1o  12739  bitsfzolem  12740  bitsfzo  12741  bitsmod  12742  bitscmp  12744  bitsinv1lem  12747  modgcd  12787  qredeu  12894  sqrt2irraplemnn  12978  sqrt2irrap  12979  divnumden  12995  hashdvds  13022  prmdiv  13036  phisum  13042  odzdvds  13047  pcdiv  13104  pcaddlem  13141  pcmptdvds  13147  fldivp1  13150  pcfaclem  13151  pcfac  13152  pcbc  13153  4sqlem5  13184  4sqlem6  13185  4sqlem10  13189  mulgmodid  14017  logbgcd1irraplemap  16166  log2tlbndlog2  16181  ppiqub  16254  pcbcctr  16264  bposlem1  16272  bposlem2  16273  bposlem3  16274  bposlem4  16275  bposlem6  16277  bposlem8  16279  bposlem9  16280  gausslemma2dlem0d  16337  gausslemma2dlem1a  16343  gausslemma2dlem1cl  16344  gausslemma2dlem1f1o  16345  gausslemma2dlem3  16348  gausslemma2dlem4  16349  gausslemma2dlem5a  16350  gausslemma2dlem5  16351  gausslemma2dlem6  16352  lgseisenlem2  16356  lgseisenlem4  16358  lgseisen  16359  lgsquadlem1  16362  lgsquadlem2  16363  2lgslem1a2  16372  2lgslem1  16376  2lgslem2  16377  ex-fl  16905  ex-ceil  16906