Theorem znq 9974

Description: The ratio of an integer and a positive integer is a rational number. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
znq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )

Proof of Theorem znq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 |- ( A / B ) = ( A / B )
2		rspceov 6101	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN /\ ( A / B ) = ( A / B ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. NN ( A / B ) = ( x / y ) )
3	1, 2	mp3an3 1363	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> E. x e. ZZ E. y e. NN ( A / B ) = ( x / y ) )
4		elq 9972	. 2 |- ( ( A / B ) e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN ( A / B ) = ( x / y ) )
5	3, 4	sylibr 134	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523  (class class class)co 6058   / cdiv 8963   NNcn 9254   ZZcz 9594   QQcq 9969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-z 9595  df-q 9970

This theorem is referenced by:  qnegcl  9986  qreccl  9992  nnrecq  9995  elpqb  10000  qbtwnre  10640  adddivflid  10676  fldivnn0  10679  divfl0  10680  flhalf  10686  fldivnn0le  10687  flltdivnn0lt  10688  fldiv4p1lem1div2  10689  fldiv4lem1div2uz2  10690  fldiv4lem1div2  10691  intfracq  10706  flqdiv  10707  zmodcl  10730  iexpcyc  11030  facavg  11133  bcval  11136  eirraplem  12488  dvdsmod  12573  divalglemnn  12629  divalgmod  12638  flodddiv4  12647  flodddiv4t2lthalf  12650  bitsdc  12658  bitsp1  12662  bitsp1o  12664  bitsfzolem  12665  bitsfzo  12666  bitsmod  12667  bitscmp  12669  bitsinv1lem  12672  modgcd  12712  qredeu  12819  sqrt2irraplemnn  12901  sqrt2irrap  12902  divnumden  12918  hashdvds  12943  prmdiv  12957  phisum  12963  odzdvds  12968  pcdiv  13025  pcaddlem  13062  pcmptdvds  13068  fldivp1  13071  pcfaclem  13072  pcfac  13073  pcbc  13074  4sqlem5  13105  4sqlem6  13106  4sqlem10  13110  mulgmodid  13914  logbgcd1irraplemap  15960  gausslemma2dlem0d  16051  gausslemma2dlem1a  16057  gausslemma2dlem1cl  16058  gausslemma2dlem1f1o  16059  gausslemma2dlem3  16062  gausslemma2dlem4  16063  gausslemma2dlem5a  16064  gausslemma2dlem5  16065  gausslemma2dlem6  16066  lgseisenlem2  16070  lgseisenlem4  16072  lgseisen  16073  lgsquadlem1  16076  lgsquadlem2  16077  2lgslem1a2  16086  2lgslem1  16090  2lgslem2  16091  ex-fl  16619  ex-ceil  16620