Theorem znq 9698

Description: The ratio of an integer and a positive integer is a rational number. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
znq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )

Proof of Theorem znq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 |- ( A / B ) = ( A / B )
2		rspceov 5964	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN /\ ( A / B ) = ( A / B ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. NN ( A / B ) = ( x / y ) )
3	1, 2	mp3an3 1337	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> E. x e. ZZ E. y e. NN ( A / B ) = ( x / y ) )
4		elq 9696	. 2 |- ( ( A / B ) e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN ( A / B ) = ( x / y ) )
5	3, 4	sylibr 134	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476  (class class class)co 5922   / cdiv 8699   NNcn 8990   ZZcz 9326   QQcq 9693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-z 9327  df-q 9694

This theorem is referenced by:  qnegcl  9710  qreccl  9716  nnrecq  9719  elpqb  9724  qbtwnre  10346  adddivflid  10382  fldivnn0  10385  divfl0  10386  flhalf  10392  fldivnn0le  10393  flltdivnn0lt  10394  fldiv4p1lem1div2  10395  fldiv4lem1div2uz2  10396  fldiv4lem1div2  10397  intfracq  10412  flqdiv  10413  zmodcl  10436  iexpcyc  10736  facavg  10838  bcval  10841  eirraplem  11942  dvdsmod  12027  divalglemnn  12083  divalgmod  12092  flodddiv4  12101  flodddiv4t2lthalf  12104  bitsp1  12115  bitsp1o  12117  bitsfzolem  12118  bitsfzo  12119  modgcd  12158  qredeu  12265  sqrt2irraplemnn  12347  sqrt2irrap  12348  divnumden  12364  hashdvds  12389  prmdiv  12403  phisum  12409  odzdvds  12414  pcdiv  12471  pcaddlem  12508  pcmptdvds  12514  fldivp1  12517  pcfaclem  12518  pcfac  12519  pcbc  12520  4sqlem5  12551  4sqlem6  12552  4sqlem10  12556  mulgmodid  13291  logbgcd1irraplemap  15205  gausslemma2dlem0d  15293  gausslemma2dlem1a  15299  gausslemma2dlem1cl  15300  gausslemma2dlem1f1o  15301  gausslemma2dlem3  15304  gausslemma2dlem4  15305  gausslemma2dlem5a  15306  gausslemma2dlem5  15307  gausslemma2dlem6  15308  lgseisenlem2  15312  lgseisenlem4  15314  lgseisen  15315  lgsquadlem1  15318  lgsquadlem2  15319  2lgslem1a2  15328  2lgslem1  15332  2lgslem2  15333  ex-fl  15371  ex-ceil  15372