Theorem znq 9959

Description: The ratio of an integer and a positive integer is a rational number. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
znq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )

Proof of Theorem znq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 |- ( A / B ) = ( A / B )
2		rspceov 6095	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN /\ ( A / B ) = ( A / B ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. NN ( A / B ) = ( x / y ) )
3	1, 2	mp3an3 1363	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> E. x e. ZZ E. y e. NN ( A / B ) = ( x / y ) )
4		elq 9957	. 2 |- ( ( A / B ) e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN ( A / B ) = ( x / y ) )
5	3, 4	sylibr 134	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523  (class class class)co 6052   / cdiv 8948   NNcn 9239   ZZcz 9579   QQcq 9954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-z 9580  df-q 9955

This theorem is referenced by:  qnegcl  9971  qreccl  9977  nnrecq  9980  elpqb  9985  qbtwnre  10620  adddivflid  10656  fldivnn0  10659  divfl0  10660  flhalf  10666  fldivnn0le  10667  flltdivnn0lt  10668  fldiv4p1lem1div2  10669  fldiv4lem1div2uz2  10670  fldiv4lem1div2  10671  intfracq  10686  flqdiv  10687  zmodcl  10710  iexpcyc  11010  facavg  11112  bcval  11115  eirraplem  12467  dvdsmod  12552  divalglemnn  12608  divalgmod  12617  flodddiv4  12626  flodddiv4t2lthalf  12629  bitsdc  12637  bitsp1  12641  bitsp1o  12643  bitsfzolem  12644  bitsfzo  12645  bitsmod  12646  bitscmp  12648  bitsinv1lem  12651  modgcd  12691  qredeu  12798  sqrt2irraplemnn  12880  sqrt2irrap  12881  divnumden  12897  hashdvds  12922  prmdiv  12936  phisum  12942  odzdvds  12947  pcdiv  13004  pcaddlem  13041  pcmptdvds  13047  fldivp1  13050  pcfaclem  13051  pcfac  13052  pcbc  13053  4sqlem5  13084  4sqlem6  13085  4sqlem10  13089  mulgmodid  13895  logbgcd1irraplemap  15851  gausslemma2dlem0d  15942  gausslemma2dlem1a  15948  gausslemma2dlem1cl  15949  gausslemma2dlem1f1o  15950  gausslemma2dlem3  15953  gausslemma2dlem4  15954  gausslemma2dlem5a  15955  gausslemma2dlem5  15956  gausslemma2dlem6  15957  lgseisenlem2  15961  lgseisenlem4  15963  lgseisen  15964  lgsquadlem1  15967  lgsquadlem2  15968  2lgslem1a2  15977  2lgslem1  15981  2lgslem2  15982  ex-fl  16510  ex-ceil  16511