Theorem znq 10040

Description: The ratio of an integer and a positive integer is a rational number. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
znq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )

Proof of Theorem znq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( A / B ) = ( A / B )
2		rspceov 6131	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN /\ ( A / B ) = ( A / B ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. NN ( A / B ) = ( x / y ) )
3	1, 2	mp3an3 1367	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> E. x e. ZZ E. y e. NN ( A / B ) = ( x / y ) )
4		elq 10038	. 2 |- ( ( A / B ) e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN ( A / B ) = ( x / y ) )
5	3, 4	sylibr 134	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529  (class class class)co 6088   / cdiv 9010   NNcn 9313   ZZcz 9655   QQcq 10035

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-z 9656  df-q 10036

This theorem is used by:  qnegcl  10052  qreccl  10058  nnrecq  10061  elpqb  10067  qbtwnre  10708  adddivflid  10748  fldivnn0  10751  divfl0  10752  flhalf  10758  fldivnn0le  10759  flltdivnn0lt  10760  fldiv4p1lem1div2  10761  fldiv4lem1div2uz2  10762  fldiv4lem1div2  10763  intfracq  10778  flqdiv  10779  zmodcl  10802  iexpcyc  11102  facavg  11206  bcval  11209  eirraplem  12569  dvdsmod  12654  divalglemnn  12710  divalgmod  12719  flodddiv4  12728  flodddiv4t2lthalf  12731  bitsdc  12739  bitsp1  12743  bitsp1o  12745  bitsfzolem  12746  bitsfzo  12747  bitsmod  12748  bitscmp  12750  bitsinv1lem  12753  modgcd  12793  qredeu  12900  sqrt2irraplemnn  12984  sqrt2irrap  12985  divnumden  13001  hashdvds  13028  prmdiv  13042  phisum  13048  odzdvds  13053  pcdiv  13110  pcaddlem  13147  pcmptdvds  13153  fldivp1  13156  pcfaclem  13157  pcfac  13158  pcbc  13159  4sqlem5  13190  4sqlem6  13191  4sqlem10  13195  mulgmodid  14023  logbgcd1irraplemap  16205  log2tlbndlog2  16220  ppiqub  16293  pcbcctr  16303  bposlem1  16311  bposlem2  16312  bposlem3  16313  bposlem4  16314  bposlem6  16316  bposlem8  16318  bposlem9  16319  gausslemma2dlem0d  16376  gausslemma2dlem1a  16382  gausslemma2dlem1cl  16383  gausslemma2dlem1f1o  16384  gausslemma2dlem3  16387  gausslemma2dlem4  16388  gausslemma2dlem5a  16389  gausslemma2dlem5  16390  gausslemma2dlem6  16391  lgseisenlem2  16395  lgseisenlem4  16397  lgseisen  16398  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem2  16402  2lgslem1a2  16411  2lgslem1  16415  2lgslem2  16416  ex-fl  16944  ex-ceil  16945