Theorem qmulz 9625

Description: If 𝐴 is rational, then some integer multiple of it is an integer. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qmulz	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem qmulz

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9624	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑦 / 𝑥))
2		rexcom 2641	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑦 / 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑦 / 𝑥))
3		zcn 9260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
5		nncn 8929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
6	5	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
7		nnap0 8950	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 # 0)
8	7	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 # 0)
9	4, 6, 8	divcanap1d 8750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 / 𝑥) · 𝑥) = 𝑦)
10		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
11	9, 10	eqeltrd 2254	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 / 𝑥) · 𝑥) ∈ ℤ)
12		oveq1 5884	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑦 / 𝑥) → (𝐴 · 𝑥) = ((𝑦 / 𝑥) · 𝑥))
13	12	eleq1d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑦 / 𝑥) → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ ↔ ((𝑦 / 𝑥) · 𝑥) ∈ ℤ))
14	11, 13	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐴 = (𝑦 / 𝑥) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ))
15	14	rexlimdva 2594	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑦 / 𝑥) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ))
16	15	reximia 2572	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑦 / 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ)
17	2, 16	sylbi 121	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑦 / 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ)
18	1, 17	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  0cc0 7813   · cmul 7818   # cap 8540   / cdiv 8631  ℕcn 8921  ℤcz 9255  ℚcq 9621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-z 9256  df-q 9622

This theorem is referenced by: (None)