Theorem qmulz 9265

Description: If 𝐴 is rational, then some integer multiple of it is an integer. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qmulz	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem qmulz

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9264	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑦 / 𝑥))
2		rexcom 2553	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑦 / 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑦 / 𝑥))
3		zcn 8911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
4	3	adantl 273	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
5		nncn 8586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
6	5	adantr 272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
7		nnap0 8607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 # 0)
8	7	adantr 272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 # 0)
9	4, 6, 8	divcanap1d 8412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 / 𝑥) · 𝑥) = 𝑦)
10		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
11	9, 10	eqeltrd 2176	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 / 𝑥) · 𝑥) ∈ ℤ)
12		oveq1 5713	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑦 / 𝑥) → (𝐴 · 𝑥) = ((𝑦 / 𝑥) · 𝑥))
13	12	eleq1d 2168	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑦 / 𝑥) → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ ↔ ((𝑦 / 𝑥) · 𝑥) ∈ ℤ))
14	11, 13	syl5ibrcom 156	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐴 = (𝑦 / 𝑥) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ))
15	14	rexlimdva 2508	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑦 / 𝑥) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ))
16	15	reximia 2486	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑦 / 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ)
17	2, 16	sylbi 120	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑦 / 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ)
18	1, 17	sylbi 120	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1299   ∈ wcel 1448  ∃wrex 2376   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706  ℂcc 7498  0cc0 7500   · cmul 7505   # cap 8209   / cdiv 8293  ℕcn 8578  ℤcz 8906  ℚcq 9261

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-z 8907  df-q 9262

This theorem is referenced by: (None)