ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ringidvalg GIF version

Theorem ringidvalg 12970
Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringidval.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringidvalg (𝑅𝑉1 = (0g𝐺))

Proof of Theorem ringidvalg
StepHypRef Expression
1 elex 2748 . . 3 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
2 df-ur 12969 . . . . 5 1r = (0g ∘ mulGrp)
32fveq1i 5512 . . . 4 (1r𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
4 fnmgp 12959 . . . . 5 mulGrp Fn V
5 fvco2 5581 . . . . 5 ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
64, 5mpan 424 . . . 4 (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
73, 6eqtrid 2222 . . 3 (𝑅 ∈ V → (1r𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
81, 7syl 14 . 2 (𝑅𝑉 → (1r𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
9 ringidval.u . 2 1 = (1r𝑅)
10 ringidval.g . . 3 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
1110fveq2i 5514 . 2 (0g𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
128, 9, 113eqtr4g 2235 1 (𝑅𝑉1 = (0g𝐺))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  ccom 4627   Fn wfn 5207  cfv 5212  0gc0g 12653  mulGrpcmgp 12957  1rcur 12968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1re 7896  ax-addrcl 7899
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-ndx 12448  df-slot 12449  df-sets 12452  df-plusg 12531  df-mulr 12532  df-mgp 12958  df-ur 12969
This theorem is referenced by:  dfur2g  12971  srgidcl  12985  srgidmlem  12987  issrgid  12990  srgpcomp  12999  srg1expzeq1  13004  ringidcl  13029  ringidmlem  13031  isringid  13034  oppr1g  13077  unitsubm  13113  rngidpropdg  13138
  Copyright terms: Public domain W3C validator