Theorem ringidvalg 13993

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidvalg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 = (0g‘𝐺))

Proof of Theorem ringidvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2814	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
2		df-ur 13992	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
3	2	fveq1i 5640	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
4		fnmgp 13954	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
5		fvco2 5715	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7	3, 6	eqtrid 2276	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
8	1, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
9		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
10		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
11	10	fveq2i 5642	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
12	8, 9, 11	3eqtr4g 2289	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 = (0g‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ∘ ccom 4729   Fn wfn 5321  ‘cfv 5326  0_gc0g 13357  mulGrpcmgp 13952  1_rcur 13991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-sets 13107  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-mgp 13953  df-ur 13992

This theorem is referenced by:  dfur2g  13994  srgidcl  14008  srgidmlem  14010  issrgid  14013  srgpcomp  14022  srg1expzeq1  14027  ringidcl  14052  ringidmlem  14054  isringid  14057  oppr1g  14114  unitsubm  14152  rngidpropdg  14179  dfrhm2  14187  isrhm2d  14198  rhm1  14200  subrgsubm  14267  issubrg3  14280  cnfldexp  14610