Theorem ringidvalg 14348

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidvalg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 = (0g‘𝐺))

Proof of Theorem ringidvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
2		df-ur 14347	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
3	2	fveq1i 5696	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
4		fnmgp 14303	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
5		fvco2 5774	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	4, 5	mpan 428	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7	3, 6	eqtrid 2283	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
8	1, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
9		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
10		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
11	10	fveq2i 5698	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
12	8, 9, 11	3eqtr4g 2296	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 = (0g‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∘ ccom 4778   Fn wfn 5372  ‘cfv 5377  0_gc0g 13663  mulGrpcmgp 14301  1_rcur 14346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-sets 13411  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-mgp 14302  df-ur 14347

This theorem is used by:  ringidval  14349  dfur2g  14350  srgidcl  14364  srgidmlem  14366  issrgid  14369  srgpcomp  14378  srg1expzeq1  14383  ringidcl  14409  ringidmlem  14411  isringid  14414  oppr1g  14472  unitsubm  14510  rngidpropdg  14537  dfrhm2  14545  isrhm2d  14556  rhm1  14558  subrgsubm  14626  issubrg3  14639  cnfldexp  14998