Theorem ringidvalg 13964

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidvalg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 = (0g‘𝐺))

Proof of Theorem ringidvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2812	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
2		df-ur 13963	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
3	2	fveq1i 5636	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
4		fnmgp 13925	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
5		fvco2 5711	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7	3, 6	eqtrid 2274	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
8	1, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
9		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
10		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
11	10	fveq2i 5638	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
12	8, 9, 11	3eqtr4g 2287	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 = (0g‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   ∘ ccom 4727   Fn wfn 5319  ‘cfv 5324  0_gc0g 13329  mulGrpcmgp 13923  1_rcur 13962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-sets 13079  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-mgp 13924  df-ur 13963

This theorem is referenced by:  dfur2g  13965  srgidcl  13979  srgidmlem  13981  issrgid  13984  srgpcomp  13993  srg1expzeq1  13998  ringidcl  14023  ringidmlem  14025  isringid  14028  oppr1g  14085  unitsubm  14123  rngidpropdg  14150  dfrhm2  14158  isrhm2d  14169  rhm1  14171  subrgsubm  14238  issubrg3  14251  cnfldexp  14581