Theorem ringidvalg 14370

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidvalg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 = (0g‘𝐺))

Proof of Theorem ringidvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
2		df-ur 14369	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
3	2	fveq1i 5699	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
4		fnmgp 14325	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
5		fvco2 5777	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	4, 5	mpan 428	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7	3, 6	eqtrid 2283	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
8	1, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
9		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
10		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
11	10	fveq2i 5701	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
12	8, 9, 11	3eqtr4g 2296	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 = (0g‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∘ ccom 4780   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  0_gc0g 13668  mulGrpcmgp 14323  1_rcur 14368

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-sets 13416  df-plusg 13502  df-mulr 13503  df-mgp 14324  df-ur 14369

This theorem is used by:  ringidval  14371  dfur2g  14372  srgidcl  14386  srgidmlem  14388  issrgid  14391  srgpcomp  14400  srg1expzeq1  14405  ringidcl  14431  ringidmlem  14433  isringid  14436  oppr1g  14496  unitsubm  14534  rngidpropdg  14561  dfrhm2  14569  isrhm2d  14580  rhm1  14582  subrgsubm  14650  issubrg3  14663  cnfldexp  15022  mvrval2  15216