Theorem ringidvalg 13919

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidvalg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 = (0g‘𝐺))

Proof of Theorem ringidvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2811	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
2		df-ur 13918	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
3	2	fveq1i 5627	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
4		fnmgp 13880	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
5		fvco2 5702	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7	3, 6	eqtrid 2274	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
8	1, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
9		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
10		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
11	10	fveq2i 5629	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
12	8, 9, 11	3eqtr4g 2287	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 = (0g‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ∘ ccom 4722   Fn wfn 5312  ‘cfv 5317  0_gc0g 13284  mulGrpcmgp 13878  1_rcur 13917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-sets 13034  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-mgp 13879  df-ur 13918

This theorem is referenced by:  dfur2g  13920  srgidcl  13934  srgidmlem  13936  issrgid  13939  srgpcomp  13948  srg1expzeq1  13953  ringidcl  13978  ringidmlem  13980  isringid  13983  oppr1g  14040  unitsubm  14077  rngidpropdg  14104  dfrhm2  14112  isrhm2d  14123  rhm1  14125  subrgsubm  14192  issubrg3  14205  cnfldexp  14535