Theorem ringmneg1 14442

Description: Negation of a product in a ring. (mulneg1 8724 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringneglmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringneglmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringneglmul.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringneglmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringneglmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringneglmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringmneg1	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem ringmneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringneglmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringgrp 14389	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		ringneglmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6	4, 5	ringidcl 14409	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
7	1, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
8		ringneglmul.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
9	4, 8	grpinvcl 13906	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
10	3, 7, 9	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
11		ringneglmul.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		ringneglmul.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
13		ringneglmul.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	4, 13	ringass 14404	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑁‘(1r‘𝑅)) · 𝑋) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r‘𝑅)) · (𝑋 · 𝑌)))
15	1, 10, 11, 12, 14	syl13anc 1280	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(1r‘𝑅)) · 𝑋) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r‘𝑅)) · (𝑋 · 𝑌)))
16	4, 13, 5, 8, 1, 11	ringnegl 14440	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(1r‘𝑅)) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))
17	16	oveq1d 6100	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(1r‘𝑅)) · 𝑋) · 𝑌) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌))
18	4, 13	ringcl 14401	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
19	1, 11, 12, 18	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
20	4, 13, 5, 8, 1, 19	ringnegl 14440	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(1r‘𝑅)) · (𝑋 · 𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
21	15, 17, 20	3eqtr3d 2279	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13404  ._rcmulr 13485  Grpcgrp 13858  inv_gcminusg 13859  1_rcur 14346  Ringcrg 14384

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-minusg 13862  df-mgp 14302  df-ur 14347  df-ring 14386

This theorem is used by:  ringm2neg  14444  ringsubdir  14446  mulgass2  14447