Theorem ringmneg1 13687

Description: Negation of a product in a ring. (mulneg1 8440 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringneglmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringneglmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringneglmul.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringneglmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringneglmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringneglmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringmneg1	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem ringmneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringneglmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringgrp 13635	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		ringneglmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6	4, 5	ringidcl 13654	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
7	1, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
8		ringneglmul.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
9	4, 8	grpinvcl 13252	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
10	3, 7, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
11		ringneglmul.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		ringneglmul.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
13		ringneglmul.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	4, 13	ringass 13650	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑁‘(1r‘𝑅)) · 𝑋) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r‘𝑅)) · (𝑋 · 𝑌)))
15	1, 10, 11, 12, 14	syl13anc 1251	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(1r‘𝑅)) · 𝑋) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r‘𝑅)) · (𝑋 · 𝑌)))
16	4, 13, 5, 8, 1, 11	ringnegl 13685	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(1r‘𝑅)) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))
17	16	oveq1d 5940	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(1r‘𝑅)) · 𝑋) · 𝑌) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌))
18	4, 13	ringcl 13647	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
19	1, 11, 12, 18	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
20	4, 13, 5, 8, 1, 19	ringnegl 13685	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(1r‘𝑅)) · (𝑋 · 𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
21	15, 17, 20	3eqtr3d 2237	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12705  ._rcmulr 12783  Grpcgrp 13204  inv_gcminusg 13205  1_rcur 13593  Ringcrg 13630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-ltxr 8085  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-sets 12712  df-plusg 12795  df-mulr 12796  df-0g 12962  df-mgm 13060  df-sgrp 13106  df-mnd 13121  df-grp 13207  df-minusg 13208  df-mgp 13555  df-ur 13594  df-ring 13632

This theorem is referenced by:  ringm2neg  13689  ringsubdir  13691  mulgass2  13692