Theorem rnrhmsubrg 14501

Description: The range of a ring homomorphism is a subring. (Contributed by SN, 18-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
rnrhmsubrg	⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → ran 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑁))

Proof of Theorem rnrhmsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4767	. . 3 ⊢ (𝐹 “ (Base‘𝑀)) = ran (𝐹 ↾ (Base‘𝑀))
2		eqid 2234	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3		eqid 2234	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
4	2, 3	rhmf 14411	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑁))
5	4	ffnd 5514	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝐹 Fn (Base‘𝑀))
6		fnresdm 5472	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn (Base‘𝑀) → (𝐹 ↾ (Base‘𝑀)) = 𝐹)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → (𝐹 ↾ (Base‘𝑀)) = 𝐹)
8	7	rneqd 4991	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → ran (𝐹 ↾ (Base‘𝑀)) = ran 𝐹)
9	1, 8	eqtr2id 2280	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → ran 𝐹 = (𝐹 “ (Base‘𝑀)))
10		rhmrcl1 14403	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝑀 ∈ Ring)
11	2	subrgid 14472	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Ring → (Base‘𝑀) ∈ (SubRing‘𝑀))
12	10, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → (Base‘𝑀) ∈ (SubRing‘𝑀))
13		rhmima 14500	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ (Base‘𝑀) ∈ (SubRing‘𝑀)) → (𝐹 “ (Base‘𝑀)) ∈ (SubRing‘𝑁))
14	12, 13	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → (𝐹 “ (Base‘𝑀)) ∈ (SubRing‘𝑁))
15	9, 14	eqeltrd 2311	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → ran 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ran crn 4755   ↾ cres 4756   “ cima 4757   Fn wfn 5352  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13299  Ringcrg 14242   RingHom crh 14398  SubRingcsubrg 14466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-sets 13306  df-iress 13307  df-plusg 13390  df-mulr 13391  df-0g 13558  df-mgm 13622  df-sgrp 13668  df-mnd 13681  df-mhm 13717  df-submnd 13718  df-grp 13761  df-minusg 13762  df-subg 13926  df-ghm 13997  df-mgp 14163  df-ur 14206  df-ring 14244  df-rhm 14400  df-subrg 14468

This theorem is referenced by: (None)