Theorem rnrhmsubrg 14237

Description: The range of a ring homomorphism is a subring. (Contributed by SN, 18-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
rnrhmsubrg	⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → ran 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑁))

Proof of Theorem rnrhmsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4733	. . 3 ⊢ (𝐹 “ (Base‘𝑀)) = ran (𝐹 ↾ (Base‘𝑀))
2		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
4	2, 3	rhmf 14148	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑁))
5	4	ffnd 5477	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝐹 Fn (Base‘𝑀))
6		fnresdm 5435	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn (Base‘𝑀) → (𝐹 ↾ (Base‘𝑀)) = 𝐹)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → (𝐹 ↾ (Base‘𝑀)) = 𝐹)
8	7	rneqd 4956	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → ran (𝐹 ↾ (Base‘𝑀)) = ran 𝐹)
9	1, 8	eqtr2id 2275	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → ran 𝐹 = (𝐹 “ (Base‘𝑀)))
10		rhmrcl1 14140	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝑀 ∈ Ring)
11	2	subrgid 14208	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Ring → (Base‘𝑀) ∈ (SubRing‘𝑀))
12	10, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → (Base‘𝑀) ∈ (SubRing‘𝑀))
13		rhmima 14236	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ (Base‘𝑀) ∈ (SubRing‘𝑀)) → (𝐹 “ (Base‘𝑀)) ∈ (SubRing‘𝑁))
14	12, 13	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → (𝐹 “ (Base‘𝑀)) ∈ (SubRing‘𝑁))
15	9, 14	eqeltrd 2306	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → ran 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ran crn 4721   ↾ cres 4722   “ cima 4723   Fn wfn 5316  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  Basecbs 13053  Ringcrg 13980   RingHom crh 14135  SubRingcsubrg 14202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-map 6810  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-ltxr 8202  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-iress 13061  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-0g 13312  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-mhm 13513  df-submnd 13514  df-grp 13557  df-minusg 13558  df-subg 13728  df-ghm 13799  df-mgp 13905  df-ur 13944  df-ring 13982  df-rhm 14137  df-subrg 14204

This theorem is referenced by: (None)