Theorem rnrhmsubrg 14181

Description: The range of a ring homomorphism is a subring. (Contributed by SN, 18-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
rnrhmsubrg	⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → ran 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑁))

Proof of Theorem rnrhmsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4709	. . 3 ⊢ (𝐹 “ (Base‘𝑀)) = ran (𝐹 ↾ (Base‘𝑀))
2		eqid 2209	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3		eqid 2209	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
4	2, 3	rhmf 14092	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑁))
5	4	ffnd 5450	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝐹 Fn (Base‘𝑀))
6		fnresdm 5408	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn (Base‘𝑀) → (𝐹 ↾ (Base‘𝑀)) = 𝐹)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → (𝐹 ↾ (Base‘𝑀)) = 𝐹)
8	7	rneqd 4929	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → ran (𝐹 ↾ (Base‘𝑀)) = ran 𝐹)
9	1, 8	eqtr2id 2255	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → ran 𝐹 = (𝐹 “ (Base‘𝑀)))
10		rhmrcl1 14084	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝑀 ∈ Ring)
11	2	subrgid 14152	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Ring → (Base‘𝑀) ∈ (SubRing‘𝑀))
12	10, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → (Base‘𝑀) ∈ (SubRing‘𝑀))
13		rhmima 14180	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ (Base‘𝑀) ∈ (SubRing‘𝑀)) → (𝐹 “ (Base‘𝑀)) ∈ (SubRing‘𝑁))
14	12, 13	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → (𝐹 “ (Base‘𝑀)) ∈ (SubRing‘𝑁))
15	9, 14	eqeltrd 2286	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → ran 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ran crn 4697   ↾ cres 4698   “ cima 4699   Fn wfn 5289  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  Basecbs 12998  Ringcrg 13925   RingHom crh 14079  SubRingcsubrg 14146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-map 6767  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-iress 13006  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-0g 13257  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-mhm 13458  df-submnd 13459  df-grp 13502  df-minusg 13503  df-subg 13673  df-ghm 13744  df-mgp 13850  df-ur 13889  df-ring 13927  df-rhm 14081  df-subrg 14148

This theorem is referenced by: (None)