ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phibnd Unicode version

Theorem phibnd 11467
Description: A slightly tighter bound on the value of the Euler  phi function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phibnd  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( phi `  N )  <_  ( N  -  1 ) )

Proof of Theorem phibnd
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 8774 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
2 eluzelz 9026 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
3 peano2zm 8786 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
42, 3syl 14 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
5 fzfig 9833 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
61, 4, 5sylancr 405 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin )
7 phibndlem 11466 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )
8 ssdomg 6493 . . . 4  |-  ( ( 1 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin  ->  ( { x  e.  (
1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } 
C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  ~<_  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
96, 7, 8sylc 61 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  ~<_  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )
10 eluz2nn 9055 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
11 phivalfi 11462 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin )
1210, 11syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin )
13 fihashdom 10207 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin  /\  (
1 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin )  ->  (
( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <_ 
( `  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  <->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  ~<_  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
1412, 6, 13syl2anc 403 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( `  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <_  ( `  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  <->  { x  e.  (
1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  ~<_  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
159, 14mpbird 165 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( `  {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )  <_  ( `  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
16 phival 11463 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
1710, 16syl 14 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
18 nnm1nn0 8712 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
19 hashfz1 10187 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( `  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  =  ( N  - 
1 ) )
2010, 18, 193syl 17 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( `  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  =  ( N  - 
1 ) )
2120eqcomd 2093 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  =  ( `  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
2215, 17, 213brtr4d 3875 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( phi `  N )  <_  ( N  -  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   {crab 2363    C_ wss 2999   class class class wbr 3845   ` cfv 5015  (class class class)co 5652    ~<_ cdom 6454   Fincfn 6455   1c1 7349    <_ cle 7521    - cmin 7651   NNcn 8420   2c2 8471   NN0cn0 8671   ZZcz 8748   ZZ>=cuz 9017   ...cfz 9422  ♯chash 10179    gcd cgcd 11212   phicphi 11460
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-1o 6181  df-er 6290  df-en 6456  df-dom 6457  df-fin 6458  df-sup 6677  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-q 9103  df-rp 9133  df-fz 9423  df-fzo 9550  df-fl 9673  df-mod 9726  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-ihash 10180  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274  df-rsqrt 10427  df-abs 10428  df-dvds 11071  df-gcd 11213  df-phi 11461
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator