Theorem phibnd 12754

Description: A slightly tighter bound on the value of the Euler phi function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phibnd	|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( phi ` N ) <_ ( N - 1 ) )

Proof of Theorem phibnd

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9483	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
2		eluzelz 9743	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. ZZ )
3		peano2zm 9495	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
5		fzfig 10664	. . . . 5 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( 1 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
6	1, 4, 5	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
7		phibndlem 12753	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
8		ssdomg 6938	. . . 4 |- ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) e. Fin -> ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
9	6, 7, 8	sylc 62	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
10		eluz2nn 9773	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN )
11		phivalfi 12749	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin )
13		fihashdom 11037	. . . 4 |- ( ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin /\ ( 1 ... ( N - 1 ) ) e. Fin ) -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ (♯ ` ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) <-> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
14	12, 6, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ (♯ ` ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) <-> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
15	9, 14	mpbird 167	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ (♯ ` ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
16		phival 12750	. . 3 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
17	10, 16	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
18		nnm1nn0 9421	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
19		hashfz1 11017	. . . 4 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) = ( N - 1 ) )
20	10, 18, 19	3syl 17	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (♯ ` ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) = ( N - 1 ) )
21	20	eqcomd 2235	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) = (♯ ` ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
22	15, 17, 21	3brtr4d 4115	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( phi ` N ) <_ ( N - 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   ~<_ cdom 6894   Fincfn 6895   1c1 8011   <_ cle 8193   - cmin 8328   NNcn 9121   2c2 9172   NN0cn0 9380   ZZcz 9457   ZZ>=cuz 9733   ...cfz 10216  ♯chash 11009   gcd cgcd 12489   phicphi 12746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-sup 7162  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-fl 10502  df-mod 10557  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-ihash 11010  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-dvds 12314  df-gcd 12490  df-phi 12748

This theorem is referenced by: (None)