ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phibnd Unicode version

Theorem phibnd 10972
Description: A slightly tighter bound on the value of the Euler  phi function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phibnd  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( phi `  N )  <_  ( N  -  1 ) )

Proof of Theorem phibnd
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 8671 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
2 eluzelz 8922 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
3 peano2zm 8683 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
42, 3syl 14 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
5 fzfig 9725 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
61, 4, 5sylancr 405 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin )
7 phibndlem 10971 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )
8 ssdomg 6424 . . . 4  |-  ( ( 1 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin  ->  ( { x  e.  (
1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } 
C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  ~<_  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
96, 7, 8sylc 61 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  ~<_  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )
10 eluz2nn 8951 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
11 phivalfi 10967 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin )
1210, 11syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin )
13 fihashdom 10045 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin  /\  (
1 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin )  ->  (
( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <_ 
( `  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  <->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  ~<_  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
1412, 6, 13syl2anc 403 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( `  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } )  <_  ( `  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  <->  { x  e.  (
1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 }  ~<_  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
159, 14mpbird 165 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( `  {
x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )  <_  ( `  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
16 phival 10968 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
1710, 16syl 14 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
18 nnm1nn0 8605 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
19 hashfz1 10025 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( `  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  =  ( N  - 
1 ) )
2010, 18, 193syl 17 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( `  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  =  ( N  - 
1 ) )
2120eqcomd 2088 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  =  ( `  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
2215, 17, 213brtr4d 3841 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( phi `  N )  <_  ( N  -  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   {crab 2357    C_ wss 2984   class class class wbr 3811   ` cfv 4968  (class class class)co 5590    ~<_ cdom 6385   Fincfn 6386   1c1 7253    <_ cle 7425    - cmin 7555   NNcn 8315   2c2 8365   NN0cn0 8564   ZZcz 8645   ZZ>=cuz 8913   ...cfz 9318  ♯chash 10017    gcd cgcd 10717   phicphi 10965
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7338  ax-resscn 7339  ax-1cn 7340  ax-1re 7341  ax-icn 7342  ax-addcl 7343  ax-addrcl 7344  ax-mulcl 7345  ax-mulrcl 7346  ax-addcom 7347  ax-mulcom 7348  ax-addass 7349  ax-mulass 7350  ax-distr 7351  ax-i2m1 7352  ax-0lt1 7353  ax-1rid 7354  ax-0id 7355  ax-rnegex 7356  ax-precex 7357  ax-cnre 7358  ax-pre-ltirr 7359  ax-pre-ltwlin 7360  ax-pre-lttrn 7361  ax-pre-apti 7362  ax-pre-ltadd 7363  ax-pre-mulgt0 7364  ax-pre-mulext 7365  ax-arch 7366  ax-caucvg 7367
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-rn 4411  df-res 4412  df-ima 4413  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fn 4971  df-f 4972  df-f1 4973  df-fo 4974  df-f1o 4975  df-fv 4976  df-riota 5546  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-1st 5845  df-2nd 5846  df-recs 6001  df-frec 6087  df-1o 6112  df-er 6221  df-en 6387  df-dom 6388  df-fin 6389  df-sup 6585  df-pnf 7426  df-mnf 7427  df-xr 7428  df-ltxr 7429  df-le 7430  df-sub 7557  df-neg 7558  df-reap 7951  df-ap 7958  df-div 8037  df-inn 8316  df-2 8374  df-3 8375  df-4 8376  df-n0 8565  df-z 8646  df-uz 8914  df-q 8999  df-rp 9029  df-fz 9319  df-fzo 9443  df-fl 9565  df-mod 9618  df-iseq 9740  df-iexp 9791  df-ihash 10018  df-cj 10102  df-re 10103  df-im 10104  df-rsqrt 10257  df-abs 10258  df-dvds 10576  df-gcd 10718  df-phi 10966
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator