Theorem phibnd 12788

Description: A slightly tighter bound on the value of the Euler phi function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phibnd	|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( phi ` N ) <_ ( N - 1 ) )

Proof of Theorem phibnd

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9504	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
2		eluzelz 9764	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. ZZ )
3		peano2zm 9516	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
5		fzfig 10691	. . . . 5 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( 1 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
6	1, 4, 5	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
7		phibndlem 12787	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
8		ssdomg 6951	. . . 4 |- ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) e. Fin -> ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
9	6, 7, 8	sylc 62	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
10		eluz2nn 9799	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN )
11		phivalfi 12783	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin )
13		fihashdom 11065	. . . 4 |- ( ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } e. Fin /\ ( 1 ... ( N - 1 ) ) e. Fin ) -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ (♯ ` ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) <-> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
14	12, 6, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ (♯ ` ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) <-> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ~<_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
15	9, 14	mpbird 167	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) <_ (♯ ` ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
16		phival 12784	. . 3 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
17	10, 16	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( phi ` N ) = (♯ ` { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } ) )
18		nnm1nn0 9442	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
19		hashfz1 11044	. . . 4 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) = ( N - 1 ) )
20	10, 18, 19	3syl 17	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (♯ ` ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) = ( N - 1 ) )
21	20	eqcomd 2237	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) = (♯ ` ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
22	15, 17, 21	3brtr4d 4120	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( phi ` N ) <_ ( N - 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   {crab 2514   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   ~<_ cdom 6907   Fincfn 6908   1c1 8032   <_ cle 8214   - cmin 8349   NNcn 9142   2c2 9193   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242  ♯chash 11036   gcd cgcd 12523   phicphi 12780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-sup 7182  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-fl 10529  df-mod 10584  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-ihash 11037  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-dvds 12348  df-gcd 12524  df-phi 12782

This theorem is referenced by: (None)