ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subap0 GIF version

Theorem subap0 8549
Description: Two numbers being apart is equivalent to their difference being apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
subap0 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) # 0 ↔ 𝐴 # 𝐵))

Proof of Theorem subap0
StepHypRef Expression
1 negcl 8106 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
21adantl 275 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -𝐵 ∈ ℂ)
3 apadd1 8514 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + -𝐵) # (𝐵 + -𝐵)))
42, 3mpd3an3 1333 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + -𝐵) # (𝐵 + -𝐵)))
5 negsub 8154 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
6 simpr 109 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
76negidd 8207 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
85, 7breq12d 4000 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + -𝐵) # (𝐵 + -𝐵) ↔ (𝐴𝐵) # 0))
94, 8bitr2d 188 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) # 0 ↔ 𝐴 # 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850  cc 7759  0cc0 7761   + caddc 7764  cmin 8077  -cneg 8078   # cap 8487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-ltxr 7946  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488
This theorem is referenced by:  subap0d  8550  tanaddaplem  11688  cnopnap  13309  reap0  14012
  Copyright terms: Public domain W3C validator