Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reap0 Unicode version

Theorem reap0 13592
 Description: Real number trichotomy is equivalent to decidability of apartness from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2024.)
Assertion
Ref Expression
reap0 DECID #
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem reap0
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . . 5
2 simpr 109 . . . . . 6
3 0re 7861 . . . . . 6
4 breq1 3968 . . . . . . . 8
5 equequ1 1692 . . . . . . . 8
6 breq2 3969 . . . . . . . 8
74, 5, 63orbi123d 1293 . . . . . . 7
8 breq2 3969 . . . . . . . 8
9 eqeq2 2167 . . . . . . . 8
10 breq1 3968 . . . . . . . 8
118, 9, 103orbi123d 1293 . . . . . . 7
127, 11rspc2v 2829 . . . . . 6
132, 3, 12sylancl 410 . . . . 5
141, 13mpd 13 . . . 4
15 triap 13563 . . . . 5 DECID #
162, 3, 15sylancl 410 . . . 4 DECID #
1714, 16mpbid 146 . . 3 DECID #
1817ralrimiva 2530 . 2 DECID #
19 breq1 3968 . . . . . . 7 # #
2019dcbid 824 . . . . . 6 DECID # DECID #
21 simpl 108 . . . . . 6 DECID # DECID #
22 resubcl 8122 . . . . . . 7
2322adantl 275 . . . . . 6 DECID #
2420, 21, 23rspcdva 2821 . . . . 5 DECID # DECID #
25 simprl 521 . . . . . . . 8 DECID #
2625recnd 7889 . . . . . . 7 DECID #
27 simprr 522 . . . . . . . 8 DECID #
2827recnd 7889 . . . . . . 7 DECID #
29 subap0 8501 . . . . . . 7 # #
3026, 28, 29syl2anc 409 . . . . . 6 DECID # # #
3130dcbid 824 . . . . 5 DECID # DECID # DECID #
3224, 31mpbid 146 . . . 4 DECID # DECID #
33 triap 13563 . . . . 5 DECID #
3433adantl 275 . . . 4 DECID # DECID #
3532, 34mpbird 166 . . 3 DECID #
3635ralrimivva 2539 . 2 DECID #
3718, 36impbii 125 1 DECID #
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104  DECID wdc 820   w3o 962   wceq 1335   wcel 2128  wral 2435   class class class wbr 3965  (class class class)co 5818  cc 7713  cr 7714  cc0 7715   clt 7895   cmin 8029   # cap 8439 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-ltxr 7900  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440 This theorem is referenced by:  dcapnconstALT  13595
 Copyright terms: Public domain W3C validator