ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mersenne Unicode version
Theorem mersenne 15996
Description: A Mersenne prime is a prime number of the form 2 ^ P - 1. This theorem shows that the P in this expression is necessarily also prime. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mersenne |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> P e. Prime )
Proof of Theorem mersenne
Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . 3 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> P e. ZZ )
2 2nn0 9535 . . . . . . 7 |- 2 e. NN0
32numexp1 13152 . . . . . 6 |- ( 2 ^ 1 ) = 2
4 df-2 9318 . . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
53, 4eqtri 2255 . . . . 5 |- ( 2 ^ 1 ) = ( 1 + 1 )
6 prmuz2 12859 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
76adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
8 eluz2gt1 9957 . . . . . . 7 |- ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) )
97, 8syl 14 . . . . . 6 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 1 < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) )
10 1red 8307 . . . . . . 7 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 1 e. RR )
11 2re 9329 . . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
1211a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 2 e. RR )
13 2ap0 9352 . . . . . . . . 9 |- 2 # 0
1413a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 2 # 0 )
1512, 14, 1reexpclzapd 11090 . . . . . . 7 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( 2 ^ P ) e. RR )
1610, 10, 15ltaddsubd 8839 . . . . . 6 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ P ) <-> 1 < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) ) )
179, 16mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ P ) )
185, 17eqbrtrid 4150 . . . 4 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ P ) )
19 1zzd 9626 . . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 1 e. ZZ )
20 1lt2 9429 . . . . . 6 |- 1 < 2
2120a1i 9 . . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 1 < 2 )
2212, 19, 1, 21ltexp2d 15938 . . . 4 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( 1 < P <-> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ P ) ) )
2318, 22mpbird 167 . . 3 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 1 < P )
24 eluz2b1 9956 . . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( P e. ZZ /\ 1 < P ) )
251, 23, 24sylanbrc 417 . 2 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
26 simpllr 536 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime )
27 prmnn 12838 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. NN )
2826, 27syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. NN )
2928nncnd 9273 . . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. CC )
30 2nn 9421 . . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
31 elfzuz 10379 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
3231ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
33 eluz2nn 9921 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> k e. NN )
3432, 33syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k e. NN )
3534nnnn0d 9575 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k e. NN0 )
36 nnexpcl 10943 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
3730, 35, 36sylancr 414 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
3837nnzd 9722 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) e. ZZ )
39 peano2zm 9637 . . . . . . . . 9 |- ( ( 2 ^ k ) e. ZZ -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ZZ )
4038, 39syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ZZ )
4140zred 9723 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. RR )
4241recnd 8320 . . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. CC )
43 0red 8293 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 0 e. RR )
44 1red 8307 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 e. RR )
45 0lt1 8419 . . . . . . . . 9 |- 0 < 1
4645a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 0 < 1 )
47 eluz2gt1 9957 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < k )
4832, 47syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 < k )
4911a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 2 e. RR )
50 1zzd 9626 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 e. ZZ )
51 elfzelz 10383 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> k e. ZZ )
5251ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k e. ZZ )
5320a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 < 2 )
5449, 50, 52, 53ltexp2d 15938 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 1 < k <-> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ k ) ) )
5548, 54mpbid 147 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ k ) )
565, 55eqbrtrrid 4151 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ k ) )
5737nnred 9272 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) e. RR )
5844, 44, 57ltaddsubd 8839 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ k ) <-> 1 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
5956, 58mpbid 147 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) )
6043, 44, 41, 46, 59lttrd 8418 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 0 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) )
6141, 60gt0ap0d 8923 . . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) # 0 )
6229, 42, 61divcanap2d 9088 . . . . 5 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) x. ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ P ) - 1 ) )
6362, 26eqeltrd 2311 . . . 4 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) x. ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) e. Prime )
64 elnnz 9609 . . . . . . 7 |- ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. NN <-> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ZZ /\ 0 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
6540, 60, 64sylanbrc 417 . . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. NN )
66 eluz2b2 9958 . . . . . 6 |- ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. NN /\ 1 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
6765, 59, 66sylanbrc 417 . . . . 5 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
6837nncnd 9273 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) e. CC )
69 ax-1cn 8238 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
70 subap0 8937 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 ^ k ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) # 0 <-> ( 2 ^ k ) # 1 ) )
7168, 69, 70sylancl 413 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) # 0 <-> ( 2 ^ k ) # 1 ) )
7261, 71mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) # 1 )
73 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k || P )
74 eluz2nn 9921 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
7525, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> P e. NN )
7675ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> P e. NN )
77 nndivdvds 12513 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN ) -> ( k || P <-> ( P / k ) e. NN ) )
7876, 34, 77syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( k || P <-> ( P / k ) e. NN ) )
7973, 78mpbid 147 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( P / k ) e. NN )
8079nnnn0d 9575 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( P / k ) e. NN0 )
8168, 72, 80geoserap 12224 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^ n ) = ( ( 1 - ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) ) / ( 1 - ( 2 ^ k ) ) ) )
8215ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ P ) e. RR )
8382recnd 8320 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ P ) e. CC )
84 negsubdi2 8551 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 ^ P ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( ( 2 ^ P ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ P ) ) )
8583, 69, 84sylancl 413 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> -u ( ( 2 ^ P ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ P ) ) )
8676nncnd 9273 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> P e. CC )
8734nncnd 9273 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k e. CC )
8834nnap0d 9305 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k # 0 )
8986, 87, 88divcanap2d 9088 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( k x. ( P / k ) ) = P )
9089oveq2d 6076 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ ( k x. ( P / k ) ) ) = ( 2 ^ P ) )
9149recnd 8320 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 2 e. CC )
9291, 80, 35expmuld 11068 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ ( k x. ( P / k ) ) ) = ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) )
9390, 92eqtr3d 2269 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ P ) = ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) )
9493oveq2d 6076 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 1 - ( 2 ^ P ) ) = ( 1 - ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) ) )
9585, 94eqtrd 2267 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> -u ( ( 2 ^ P ) - 1 ) = ( 1 - ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) ) )
96 negsubdi2 8551 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 ^ k ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( ( 2 ^ k ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ k ) ) )
9768, 69, 96sylancl 413 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> -u ( ( 2 ^ k ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ k ) ) )
9895, 97oveq12d 6078 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( -u ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / -u ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) = ( ( 1 - ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) ) / ( 1 - ( 2 ^ k ) ) ) )
9929, 42, 61div2negapd 9101 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( -u ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / -u ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) = ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
10081, 98, 993eqtr2d 2273 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^ n ) = ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
101 0zd 9611 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 0 e. ZZ )
10279nnzd 9722 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( P / k ) e. ZZ )
103102, 50zsubcld 9728 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( P / k ) - 1 ) e. ZZ )
104101, 103fzfigd 10822 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) e. Fin )
105 elfznn0 10475 . . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) -> n e. NN0 )
106 zexpcl 10945 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 ^ k ) e. ZZ /\ n e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ k ) ^ n ) e. ZZ )
10738, 105, 106syl2an 289 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) /\ n e. ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) ) -> ( ( 2 ^ k ) ^ n ) e. ZZ )
108104, 107fsumzcl 12119 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^ n ) e. ZZ )
109100, 108eqeltrrd 2312 . . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) e. ZZ )
11042mullidd 8310 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 1 x. ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) = ( ( 2 ^ k ) - 1 ) )
111 2z 9627 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ZZ
112 elfzm11 10452 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ 2 <_ k /\ k < P ) ) )
113111, 1, 112sylancr 414 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ 2 <_ k /\ k < P ) ) )
114113biimpa 296 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> ( k e. ZZ /\ 2 <_ k /\ k < P ) )
115114simp3d 1038 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> k < P )
116115adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k < P )
1171ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> P e. ZZ )
11849, 52, 117, 53ltexp2d 15938 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( k < P <-> ( 2 ^ k ) < ( 2 ^ P ) ) )
119116, 118mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) < ( 2 ^ P ) )
12057, 82, 44, 119ltsub1dd 8851 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) )
121110, 120eqbrtrd 4137 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 1 x. ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) )
12228nnred 9272 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. RR )
123 ltmuldiv 9170 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. RR /\ ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) -> ( ( 1 x. ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) <-> 1 < ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) )
12444, 122, 41, 60, 123syl112anc 1278 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 1 x. ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) <-> 1 < ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) )
125121, 124mpbid 147 . . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 < ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
126 eluz2b1 9956 . . . . . 6 |- ( ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) e. ZZ /\ 1 < ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) )
127109, 125, 126sylanbrc 417 . . . . 5 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
128 nprm 12851 . . . . 5 |- ( ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) x. ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) e. Prime )
12967, 127, 128syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> -. ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) x. ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) e. Prime )
13063, 129pm2.65da 667 . . 3 |- ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. k || P )
131130ralrimiva 2617 . 2 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> A. k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. k || P )
132 isprm3 12846 . 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. k || P ) )
13325, 131, 132sylanbrc 417 1 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> P e. Prime )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   class class class wbr 4115   ` cfv 5359  (class class class)co 6060   CCcc 8143   RRcr 8144   0cc0 8145   1c1 8146   + caddc 8148   x. cmul 8150   < clt 8326   <_ cle 8327   - cmin 8463   -ucneg 8464   # cap 8875   / cdiv 8968   NNcn 9259   2c2 9310   NN0cn0 9518   ZZcz 9599   ZZ>=cuz 9876   ...cfz 10366   ^cexp 10929   sum_csu 12069   || cdvds 12504   Primecprime 12835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-iinf 4717  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262  ax-pre-mulext 8263  ax-arch 8264  ax-caucvg 8265  ax-pre-suploc 8266  ax-addf 8267  ax-mulf 8268
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-disj 4092  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4720  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-isom 5368  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-of 6277  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6551  df-irdg 6616  df-frec 6637  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6782  df-map 6899  df-pm 6900  df-en 6991  df-dom 6992  df-fin 6993  df-sup 7290  df-inf 7291  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-reap 8869  df-ap 8876  df-div 8969  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-n0 9519  df-z 9600  df-uz 9877  df-q 9975  df-rp 10010  df-xneg 10129  df-xadd 10130  df-ioo 10249  df-ico 10251  df-icc 10252  df-fz 10367  df-fzo 10504  df-seqfrec 10839  df-exp 10930  df-fac 11118  df-bc 11140  df-ihash 11169  df-shft 11530  df-cj 11557  df-re 11558  df-im 11559  df-rsqrt 11714  df-abs 11715  df-clim 11995  df-sumdc 12070  df-ef 12365  df-e 12366  df-dvds 12505  df-prm 12836  df-rest 13544  df-topgen 13563  df-psmet 14824  df-xmet 14825  df-met 14826  df-bl 14827  df-mopn 14828  df-top 14994  df-topon 15007  df-bases 15039  df-ntr 15092  df-cn 15184  df-cnp 15185  df-tx 15249  df-cncf 15567  df-limced 15652  df-dvap 15653  df-relog 15854  df-rpcxp 15855
This theorem is referenced by:  perfect1  15997  perfect  16000
  Copyright terms: Public domain W3C validator