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Theorem mersenne 15994
Description: A Mersenne prime is a prime number of the form 2 ^ P - 1. This theorem shows that the P in this expression is necessarily also prime. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mersenne |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> P e. Prime )
Proof of Theorem mersenne
Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . 3 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> P e. ZZ )
2 2nn0 9533 . . . . . . 7 |- 2 e. NN0
32numexp1 13149 . . . . . 6 |- ( 2 ^ 1 ) = 2
4 df-2 9316 . . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
53, 4eqtri 2255 . . . . 5 |- ( 2 ^ 1 ) = ( 1 + 1 )
6 prmuz2 12856 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
76adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
8 eluz2gt1 9955 . . . . . . 7 |- ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) )
97, 8syl 14 . . . . . 6 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 1 < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) )
10 1red 8305 . . . . . . 7 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 1 e. RR )
11 2re 9327 . . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
1211a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 2 e. RR )
13 2ap0 9350 . . . . . . . . 9 |- 2 # 0
1413a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 2 # 0 )
1512, 14, 1reexpclzapd 11088 . . . . . . 7 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( 2 ^ P ) e. RR )
1610, 10, 15ltaddsubd 8837 . . . . . 6 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ P ) <-> 1 < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) ) )
179, 16mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ P ) )
185, 17eqbrtrid 4149 . . . 4 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ P ) )
19 1zzd 9624 . . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 1 e. ZZ )
20 1lt2 9427 . . . . . 6 |- 1 < 2
2120a1i 9 . . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 1 < 2 )
2212, 19, 1, 21ltexp2d 15936 . . . 4 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( 1 < P <-> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ P ) ) )
2318, 22mpbird 167 . . 3 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 1 < P )
24 eluz2b1 9954 . . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( P e. ZZ /\ 1 < P ) )
251, 23, 24sylanbrc 417 . 2 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
26 simpllr 536 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime )
27 prmnn 12835 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. NN )
2826, 27syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. NN )
2928nncnd 9271 . . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. CC )
30 2nn 9419 . . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
31 elfzuz 10377 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
3231ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
33 eluz2nn 9919 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> k e. NN )
3432, 33syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k e. NN )
3534nnnn0d 9573 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k e. NN0 )
36 nnexpcl 10941 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
3730, 35, 36sylancr 414 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
3837nnzd 9720 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) e. ZZ )
39 peano2zm 9635 . . . . . . . . 9 |- ( ( 2 ^ k ) e. ZZ -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ZZ )
4038, 39syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ZZ )
4140zred 9721 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. RR )
4241recnd 8318 . . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. CC )
43 0red 8291 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 0 e. RR )
44 1red 8305 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 e. RR )
45 0lt1 8417 . . . . . . . . 9 |- 0 < 1
4645a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 0 < 1 )
47 eluz2gt1 9955 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < k )
4832, 47syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 < k )
4911a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 2 e. RR )
50 1zzd 9624 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 e. ZZ )
51 elfzelz 10381 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> k e. ZZ )
5251ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k e. ZZ )
5320a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 < 2 )
5449, 50, 52, 53ltexp2d 15936 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 1 < k <-> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ k ) ) )
5548, 54mpbid 147 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ k ) )
565, 55eqbrtrrid 4150 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ k ) )
5737nnred 9270 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) e. RR )
5844, 44, 57ltaddsubd 8837 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ k ) <-> 1 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
5956, 58mpbid 147 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) )
6043, 44, 41, 46, 59lttrd 8416 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 0 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) )
6141, 60gt0ap0d 8921 . . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) # 0 )
6229, 42, 61divcanap2d 9086 . . . . 5 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) x. ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ P ) - 1 ) )
6362, 26eqeltrd 2311 . . . 4 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) x. ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) e. Prime )
64 elnnz 9607 . . . . . . 7 |- ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. NN <-> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ZZ /\ 0 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
6540, 60, 64sylanbrc 417 . . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. NN )
66 eluz2b2 9956 . . . . . 6 |- ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. NN /\ 1 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
6765, 59, 66sylanbrc 417 . . . . 5 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
6837nncnd 9271 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) e. CC )
69 ax-1cn 8236 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
70 subap0 8935 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 ^ k ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) # 0 <-> ( 2 ^ k ) # 1 ) )
7168, 69, 70sylancl 413 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) # 0 <-> ( 2 ^ k ) # 1 ) )
7261, 71mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) # 1 )
73 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k || P )
74 eluz2nn 9919 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
7525, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> P e. NN )
7675ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> P e. NN )
77 nndivdvds 12510 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN ) -> ( k || P <-> ( P / k ) e. NN ) )
7876, 34, 77syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( k || P <-> ( P / k ) e. NN ) )
7973, 78mpbid 147 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( P / k ) e. NN )
8079nnnn0d 9573 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( P / k ) e. NN0 )
8168, 72, 80geoserap 12221 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^ n ) = ( ( 1 - ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) ) / ( 1 - ( 2 ^ k ) ) ) )
8215ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ P ) e. RR )
8382recnd 8318 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ P ) e. CC )
84 negsubdi2 8549 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 ^ P ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( ( 2 ^ P ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ P ) ) )
8583, 69, 84sylancl 413 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> -u ( ( 2 ^ P ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ P ) ) )
8676nncnd 9271 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> P e. CC )
8734nncnd 9271 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k e. CC )
8834nnap0d 9303 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k # 0 )
8986, 87, 88divcanap2d 9086 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( k x. ( P / k ) ) = P )
9089oveq2d 6074 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ ( k x. ( P / k ) ) ) = ( 2 ^ P ) )
9149recnd 8318 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 2 e. CC )
9291, 80, 35expmuld 11066 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ ( k x. ( P / k ) ) ) = ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) )
9390, 92eqtr3d 2269 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ P ) = ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) )
9493oveq2d 6074 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 1 - ( 2 ^ P ) ) = ( 1 - ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) ) )
9585, 94eqtrd 2267 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> -u ( ( 2 ^ P ) - 1 ) = ( 1 - ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) ) )
96 negsubdi2 8549 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 ^ k ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( ( 2 ^ k ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ k ) ) )
9768, 69, 96sylancl 413 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> -u ( ( 2 ^ k ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ k ) ) )
9895, 97oveq12d 6076 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( -u ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / -u ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) = ( ( 1 - ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) ) / ( 1 - ( 2 ^ k ) ) ) )
9929, 42, 61div2negapd 9099 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( -u ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / -u ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) = ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
10081, 98, 993eqtr2d 2273 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^ n ) = ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
101 0zd 9609 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 0 e. ZZ )
10279nnzd 9720 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( P / k ) e. ZZ )
103102, 50zsubcld 9726 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( P / k ) - 1 ) e. ZZ )
104101, 103fzfigd 10820 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) e. Fin )
105 elfznn0 10473 . . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) -> n e. NN0 )
106 zexpcl 10943 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 ^ k ) e. ZZ /\ n e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ k ) ^ n ) e. ZZ )
10738, 105, 106syl2an 289 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) /\ n e. ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) ) -> ( ( 2 ^ k ) ^ n ) e. ZZ )
108104, 107fsumzcl 12116 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^ n ) e. ZZ )
109100, 108eqeltrrd 2312 . . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) e. ZZ )
11042mullidd 8308 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 1 x. ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) = ( ( 2 ^ k ) - 1 ) )
111 2z 9625 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ZZ
112 elfzm11 10450 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ 2 <_ k /\ k < P ) ) )
113111, 1, 112sylancr 414 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ 2 <_ k /\ k < P ) ) )
114113biimpa 296 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> ( k e. ZZ /\ 2 <_ k /\ k < P ) )
115114simp3d 1038 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> k < P )
116115adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k < P )
1171ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> P e. ZZ )
11849, 52, 117, 53ltexp2d 15936 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( k < P <-> ( 2 ^ k ) < ( 2 ^ P ) ) )
119116, 118mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) < ( 2 ^ P ) )
12057, 82, 44, 119ltsub1dd 8849 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) )
121110, 120eqbrtrd 4136 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 1 x. ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) )
12228nnred 9270 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. RR )
123 ltmuldiv 9168 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. RR /\ ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) -> ( ( 1 x. ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) <-> 1 < ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) )
12444, 122, 41, 60, 123syl112anc 1278 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 1 x. ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) <-> 1 < ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) )
125121, 124mpbid 147 . . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 < ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
126 eluz2b1 9954 . . . . . 6 |- ( ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) e. ZZ /\ 1 < ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) )
127109, 125, 126sylanbrc 417 . . . . 5 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
128 nprm 12848 . . . . 5 |- ( ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) x. ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) e. Prime )
12967, 127, 128syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> -. ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) x. ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) e. Prime )
13063, 129pm2.65da 667 . . 3 |- ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. k || P )
131130ralrimiva 2617 . 2 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> A. k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. k || P )
132 isprm3 12843 . 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. k || P ) )
13325, 131, 132sylanbrc 417 1 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> P e. Prime )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8461   -ucneg 8462   # cap 8873   / cdiv 8966   NNcn 9257   2c2 9308   NN0cn0 9516   ZZcz 9597   ZZ>=cuz 9874   ...cfz 10364   ^cexp 10927   sum_csu 12066   || cdvds 12501   Primecprime 12832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263  ax-pre-suploc 8264  ax-addf 8265  ax-mulf 8266
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-disj 4091  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6780  df-map 6897  df-pm 6898  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-q 9973  df-rp 10008  df-xneg 10127  df-xadd 10128  df-ioo 10247  df-ico 10249  df-icc 10250  df-fz 10365  df-fzo 10502  df-seqfrec 10837  df-exp 10928  df-fac 11116  df-bc 11138  df-ihash 11167  df-shft 11528  df-cj 11555  df-re 11556  df-im 11557  df-rsqrt 11711  df-abs 11712  df-clim 11992  df-sumdc 12067  df-ef 12362  df-e 12363  df-dvds 12502  df-prm 12833  df-rest 13541  df-topgen 13560  df-psmet 14820  df-xmet 14821  df-met 14822  df-bl 14823  df-mopn 14824  df-top 14992  df-topon 15005  df-bases 15037  df-ntr 15090  df-cn 15182  df-cnp 15183  df-tx 15247  df-cncf 15565  df-limced 15650  df-dvap 15651  df-relog 15852  df-rpcxp 15853
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