Theorem mersenne 16309

Description: A Mersenne prime is a prime number of the form 2 ^ P - 1. This theorem shows that the P in this expression is necessarily also prime. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mersenne	|- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> P e. Prime )

Proof of Theorem mersenne

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> P e. ZZ )
2		2nn0 9592	. . . . . . 7 |- 2 e. NN0
3	2	numexp1 13233	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 1 ) = 2
4		df-2 9373	. . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
5	3, 4	eqtri 2259	. . . . 5 |- ( 2 ^ 1 ) = ( 1 + 1 )
6		prmuz2 12936	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
8		eluz2gt1 10019	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) )
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 1 < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) )
10		1red 8348	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 1 e. RR )
11		2re 9384	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
12	11	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 2 e. RR )
13		2ap0 9407	. . . . . . . . 9 |- 2 # 0
14	13	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 2 # 0 )
15	12, 14, 1	reexpclzapd 11158	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( 2 ^ P ) e. RR )
16	10, 10, 15	ltaddsubd 8881	. . . . . 6 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ P ) <-> 1 < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) ) )
17	9, 16	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ P ) )
18	5, 17	eqbrtrid 4166	. . . 4 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ P ) )
19		1zzd 9683	. . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 1 e. ZZ )
20		1lt2 9486	. . . . . 6 |- 1 < 2
21	20	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 1 < 2 )
22	12, 19, 1, 21	ltexp2d 16190	. . . 4 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( 1 < P <-> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ P ) ) )
23	18, 22	mpbird 167	. . 3 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> 1 < P )
24		eluz2b1 10018	. . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( P e. ZZ /\ 1 < P ) )
25	1, 23, 24	sylanbrc 421	. 2 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
26		simpllr 540	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime )
27		prmnn 12914	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. NN )
28	26, 27	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. NN )
29	28	nncnd 9328	. . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. CC )
30		2nn 9478	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
31		elfzuz 10442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
32	31	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
33		eluz2nn 9983	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> k e. NN )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k e. NN )
35	34	nnnn0d 9632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k e. NN0 )
36		nnexpcl 11011	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
37	30, 35, 36	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
38	37	nnzd 9779	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) e. ZZ )
39		peano2zm 9694	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 ^ k ) e. ZZ -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ZZ )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ZZ )
41	40	zred 9780	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. RR )
42	41	recnd 8361	. . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. CC )
43		0red 8334	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 0 e. RR )
44		1red 8348	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 e. RR )
45		0lt1 8461	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
46	45	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 0 < 1 )
47		eluz2gt1 10019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < k )
48	32, 47	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 < k )
49	11	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 2 e. RR )
50		1zzd 9683	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 e. ZZ )
51		elfzelz 10446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> k e. ZZ )
52	51	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k e. ZZ )
53	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 < 2 )
54	49, 50, 52, 53	ltexp2d 16190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 1 < k <-> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ k ) ) )
55	48, 54	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ k ) )
56	5, 55	eqbrtrrid 4167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ k ) )
57	37	nnred 9327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) e. RR )
58	44, 44, 57	ltaddsubd 8881	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ k ) <-> 1 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
59	56, 58	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) )
60	43, 44, 41, 46, 59	lttrd 8460	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 0 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) )
61	41, 60	gt0ap0d 8966	. . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) # 0 )
62	29, 42, 61	divcanap2d 9131	. . . . 5 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) x. ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ P ) - 1 ) )
63	62, 26	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) x. ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) e. Prime )
64		elnnz 9666	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. NN <-> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ZZ /\ 0 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
65	40, 60, 64	sylanbrc 421	. . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. NN )
66		eluz2b2 10020	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. NN /\ 1 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
67	65, 59, 66	sylanbrc 421	. . . . 5 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
68	37	nncnd 9328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) e. CC )
69		ax-1cn 8279	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
70		subap0 8980	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 ^ k ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) # 0 <-> ( 2 ^ k ) # 1 ) )
71	68, 69, 70	sylancl 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) # 0 <-> ( 2 ^ k ) # 1 ) )
72	61, 71	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) # 1 )
73		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k || P )
74		eluz2nn 9983	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
75	25, 74	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> P e. NN )
76	75	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> P e. NN )
77		nndivdvds 12589	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN ) -> ( k || P <-> ( P / k ) e. NN ) )
78	76, 34, 77	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( k || P <-> ( P / k ) e. NN ) )
79	73, 78	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( P / k ) e. NN )
80	79	nnnn0d 9632	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( P / k ) e. NN0 )
81	68, 72, 80	geoserap 12300	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^ n ) = ( ( 1 - ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) ) / ( 1 - ( 2 ^ k ) ) ) )
82	15	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ P ) e. RR )
83	82	recnd 8361	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ P ) e. CC )
84		negsubdi2 8593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 ^ P ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( ( 2 ^ P ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ P ) ) )
85	83, 69, 84	sylancl 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> -u ( ( 2 ^ P ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ P ) ) )
86	76	nncnd 9328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> P e. CC )
87	34	nncnd 9328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k e. CC )
88	34	nnap0d 9360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k # 0 )
89	86, 87, 88	divcanap2d 9131	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( k x. ( P / k ) ) = P )
90	89	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ ( k x. ( P / k ) ) ) = ( 2 ^ P ) )
91	49	recnd 8361	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 2 e. CC )
92	91, 80, 35	expmuld 11136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ ( k x. ( P / k ) ) ) = ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) )
93	90, 92	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ P ) = ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) )
94	93	oveq2d 6104	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 1 - ( 2 ^ P ) ) = ( 1 - ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) ) )
95	85, 94	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> -u ( ( 2 ^ P ) - 1 ) = ( 1 - ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) ) )
96		negsubdi2 8593	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 ^ k ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( ( 2 ^ k ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ k ) ) )
97	68, 69, 96	sylancl 417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> -u ( ( 2 ^ k ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ k ) ) )
98	95, 97	oveq12d 6106	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( -u ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / -u ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) = ( ( 1 - ( ( 2 ^ k ) ^ ( P / k ) ) ) / ( 1 - ( 2 ^ k ) ) ) )
99	29, 42, 61	div2negapd 9144	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( -u ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / -u ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) = ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
100	81, 98, 99	3eqtr2d 2277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^ n ) = ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
101		0zd 9668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 0 e. ZZ )
102	79	nnzd 9779	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( P / k ) e. ZZ )
103	102, 50	zsubcld 9785	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( P / k ) - 1 ) e. ZZ )
104	101, 103	fzfigd 10890	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) e. Fin )
105		elfznn0 10539	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) -> n e. NN0 )
106		zexpcl 11013	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 ^ k ) e. ZZ /\ n e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ k ) ^ n ) e. ZZ )
107	38, 105, 106	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) /\ n e. ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) ) -> ( ( 2 ^ k ) ^ n ) e. ZZ )
108	104, 107	fsumzcl 12195	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( P / k ) - 1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^ n ) e. ZZ )
109	100, 108	eqeltrrd 2316	. . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) e. ZZ )
110	42	mullidd 8351	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 1 x. ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) = ( ( 2 ^ k ) - 1 ) )
111		2z 9684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ZZ
112		elfzm11 10516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ 2 <_ k /\ k < P ) ) )
113	111, 1, 112	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> ( k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ 2 <_ k /\ k < P ) ) )
114	113	biimpa 296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> ( k e. ZZ /\ 2 <_ k /\ k < P ) )
115	114	simp3d 1042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> k < P )
116	115	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> k < P )
117	1	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> P e. ZZ )
118	49, 52, 117, 53	ltexp2d 16190	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( k < P <-> ( 2 ^ k ) < ( 2 ^ P ) ) )
119	116, 118	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 2 ^ k ) < ( 2 ^ P ) )
120	57, 82, 44, 119	ltsub1dd 8893	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ k ) - 1 ) < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) )
121	110, 120	eqbrtrd 4153	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( 1 x. ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) )
122	28	nnred 9327	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. RR )
123		ltmuldiv 9213	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. RR /\ ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) -> ( ( 1 x. ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) <-> 1 < ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) )
124	44, 122, 41, 60, 123	syl112anc 1282	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( 1 x. ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) < ( ( 2 ^ P ) - 1 ) <-> 1 < ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) )
125	121, 124	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> 1 < ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) )
126		eluz2b1 10018	. . . . . 6 |- ( ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) e. ZZ /\ 1 < ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) )
127	109, 125, 126	sylanbrc 421	. . . . 5 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
128		nprm 12927	. . . . 5 |- ( ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) x. ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) e. Prime )
129	67, 127, 128	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) /\ k || P ) -> -. ( ( ( 2 ^ k ) - 1 ) x. ( ( ( 2 ^ P ) - 1 ) / ( ( 2 ^ k ) - 1 ) ) ) e. Prime )
130	63, 129	pm2.65da 671	. . 3 |- ( ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) /\ k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. k || P )
131	130	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> A. k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. k || P )
132		isprm3 12922	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. k e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. k || P ) )
133	25, 131, 132	sylanbrc 421	1 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( 2 ^ P ) - 1 ) e. Prime ) -> P e. Prime )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8184   RRcr 8185   0cc0 8186   1c1 8187   + caddc 8189   x. cmul 8191   < clt 8367   <_ cle 8368   - cmin 8505   -ucneg 8506   # cap 8918   / cdiv 9011   NNcn 9314   2c2 9365   NN0cn0 9575   ZZcz 9656   ZZ>=cuz 9938   ...cfz 10429   ^cexp 10997   sum_csu 12145   || cdvds 12580   Primecprime 12911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306  ax-pre-suploc 8307  ax-addf 8308  ax-mulf 8309

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-pm 6929  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-sup 7331  df-inf 7332  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-xneg 10192  df-xadd 10193  df-ioo 10312  df-ico 10314  df-icc 10315  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-fac 11187  df-bc 11209  df-ihash 11238  df-shft 11603  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-sumdc 12146  df-ef 12441  df-e 12442  df-dvds 12581  df-prm 12912  df-rest 13655  df-topgen 13674  df-psmet 14990  df-xmet 14991  df-met 14992  df-bl 14993  df-mopn 14994  df-top 15236  df-topon 15249  df-bases 15281  df-ntr 15334  df-cn 15426  df-cnp 15427  df-tx 15491  df-cncf 15809  df-limced 15894  df-dvap 15895  df-relog 16099  df-rpcxp 16100

This theorem is used by:  perfect1  16310  perfect  16313