Theorem subap0d 8690

Description: Two numbers apart from each other have difference apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.) (Proof shortened by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
subap0d.a	|- ( ph -> A e. CC )
subap0d.b	|- ( ph -> B e. CC )
subap0d.ap	|- ( ph -> A # B )

Assertion

Ref	Expression
subap0d	|- ( ph -> ( A - B ) # 0 )

Proof of Theorem subap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subap0d.ap	. 2 |- ( ph -> A # B )
2		subap0d.a	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
3		subap0d.b	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
4		subap0 8689	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) # 0 <-> A # B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( A - B ) # 0 <-> A # B ) )
6	1, 5	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( A - B ) # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   CCcc 7896   0cc0 7898   - cmin 8216   # cap 8627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-ltxr 8085  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628

This theorem is referenced by:  abssubap0  11274  climuni  11477  pwm1geoserap1  11692  geolim  11695  geolim2  11696  georeclim  11697  geoisum1c  11704  tanaddap  11923  cnopnap  14955  limcimo  15009  dvlemap  15024  dvconst  15038  dvid  15039  dvconstre  15040  dvidre  15041  dvconstss  15042  dvcnp2cntop  15043  dvaddxxbr  15045  dvmulxxbr  15046  dvcoapbr  15051  dvcjbr  15052  dvrecap  15057  dvef  15071