Theorem subap0d 8962

Description: Two numbers apart from each other have difference apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.) (Proof shortened by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
subap0d.a	|- ( ph -> A e. CC )
subap0d.b	|- ( ph -> B e. CC )
subap0d.ap	|- ( ph -> A # B )

Assertion

Ref	Expression
subap0d	|- ( ph -> ( A - B ) # 0 )

Proof of Theorem subap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subap0d.ap	. 2 |- ( ph -> A # B )
2		subap0d.a	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
3		subap0d.b	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
4		subap0 8961	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) # 0 <-> A # B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( ( A - B ) # 0 <-> A # B ) )
6	1, 5	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( A - B ) # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   - cmin 8487   # cap 8899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900

This theorem is referenced by:  abssubap0  11834  climuni  12037  pwm1geoserap1  12253  geolim  12256  geolim2  12257  georeclim  12258  geoisum1c  12265  tanaddap  12484  cnopnap  15635  limcimo  15689  dvlemap  15704  dvconst  15718  dvid  15719  dvconstre  15720  dvidre  15721  dvconstss  15722  dvcnp2cntop  15723  dvaddxxbr  15725  dvmulxxbr  15726  dvcoapbr  15731  dvcjbr  15732  dvrecap  15737  dvef  15751