Theorem subap0d 8823

Description: Two numbers apart from each other have difference apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.) (Proof shortened by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
subap0d.a	|- ( ph -> A e. CC )
subap0d.b	|- ( ph -> B e. CC )
subap0d.ap	|- ( ph -> A # B )

Assertion

Ref	Expression
subap0d	|- ( ph -> ( A - B ) # 0 )

Proof of Theorem subap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subap0d.ap	. 2 |- ( ph -> A # B )
2		subap0d.a	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
3		subap0d.b	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
4		subap0 8822	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) # 0 <-> A # B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( A - B ) # 0 <-> A # B ) )
6	1, 5	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( A - B ) # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   CCcc 8029   0cc0 8031   - cmin 8349   # cap 8760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761

This theorem is referenced by:  abssubap0  11650  climuni  11853  pwm1geoserap1  12068  geolim  12071  geolim2  12072  georeclim  12073  geoisum1c  12080  tanaddap  12299  cnopnap  15334  limcimo  15388  dvlemap  15403  dvconst  15417  dvid  15418  dvconstre  15419  dvidre  15420  dvconstss  15421  dvcnp2cntop  15422  dvaddxxbr  15424  dvmulxxbr  15425  dvcoapbr  15430  dvcjbr  15431  dvrecap  15436  dvef  15450