Theorem subap0d 8636

Description: Two numbers apart from each other have difference apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.) (Proof shortened by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
subap0d.a	|- ( ph -> A e. CC )
subap0d.b	|- ( ph -> B e. CC )
subap0d.ap	|- ( ph -> A # B )

Assertion

Ref	Expression
subap0d	|- ( ph -> ( A - B ) # 0 )

Proof of Theorem subap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subap0d.ap	. 2 |- ( ph -> A # B )
2		subap0d.a	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
3		subap0d.b	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
4		subap0 8635	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) # 0 <-> A # B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( A - B ) # 0 <-> A # B ) )
6	1, 5	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( A - B ) # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2160   class class class wbr 4021  (class class class)co 5900   CCcc 7844   0cc0 7846   - cmin 8163   # cap 8573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-ltxr 8032  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574

This theorem is referenced by:  abssubap0  11140  climuni  11342  pwm1geoserap1  11557  geolim  11560  geolim2  11561  georeclim  11562  geoisum1c  11569  tanaddap  11788  cnopnap  14579  limcimo  14619  dvlemap  14634  dvconst  14646  dvid  14647  dvcnp2cntop  14648  dvaddxxbr  14650  dvmulxxbr  14651  dvcoapbr  14656  dvcjbr  14657  dvrecap  14662  dvef  14673