Theorem subap0d 8182

Description: Two numbers apart from each other have difference apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
subap0d.a	|- ( ph -> A e. CC )
subap0d.b	|- ( ph -> B e. CC )
subap0d.ap	|- ( ph -> A # B )

Assertion

Ref	Expression
subap0d	|- ( ph -> ( A - B ) # 0 )

Proof of Theorem subap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subap0d.ap	. . 3 |- ( ph -> A # B )
2		subap0d.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
3		subap0d.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
4	3	negcld 7843	. . . 4 |- ( ph -> -u B e. CC )
5		apadd1 8148	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ -u B e. CC ) -> ( A # B <-> ( A + -u B ) # ( B + -u B ) ) )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1175	. . 3 |- ( ph -> ( A # B <-> ( A + -u B ) # ( B + -u B ) ) )
7	1, 6	mpbid 146	. 2 |- ( ph -> ( A + -u B ) # ( B + -u B ) )
8	2, 3	negsubd 7862	. 2 |- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
9	3	negidd 7846	. 2 |- ( ph -> ( B + -u B ) = 0 )
10	7, 8, 9	3brtr3d 3882	1 |- ( ph -> ( A - B ) # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1439   class class class wbr 3853  (class class class)co 5668   CCcc 7411   0cc0 7413   + caddc 7416   - cmin 7716   -ucneg 7717   # cap 8121

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-br 3854  df-opab 3908  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-ltxr 7590  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122

This theorem is referenced by:  abssubap0  10586  climuni  10744  pwm1geoserap1  10965  geolim  10968  geolim2  10969  georeclim  10970  geoisum1c  10977  tanaddap  11093