Theorem subap0d 8430

Description: Two numbers apart from each other have difference apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
subap0d.a	|- ( ph -> A e. CC )
subap0d.b	|- ( ph -> B e. CC )
subap0d.ap	|- ( ph -> A # B )

Assertion

Ref	Expression
subap0d	|- ( ph -> ( A - B ) # 0 )

Proof of Theorem subap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subap0d.ap	. . 3 |- ( ph -> A # B )
2		subap0d.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
3		subap0d.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
4	3	negcld 8084	. . . 4 |- ( ph -> -u B e. CC )
5		apadd1 8394	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ -u B e. CC ) -> ( A # B <-> ( A + -u B ) # ( B + -u B ) ) )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1217	. . 3 |- ( ph -> ( A # B <-> ( A + -u B ) # ( B + -u B ) ) )
7	1, 6	mpbid 146	. 2 |- ( ph -> ( A + -u B ) # ( B + -u B ) )
8	2, 3	negsubd 8103	. 2 |- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
9	3	negidd 8087	. 2 |- ( ph -> ( B + -u B ) = 0 )
10	7, 8, 9	3brtr3d 3967	1 |- ( ph -> ( A - B ) # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   CCcc 7642   0cc0 7644   + caddc 7647   - cmin 7957   -ucneg 7958   # cap 8367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-ltxr 7829  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368

This theorem is referenced by:  abssubap0  10894  climuni  11094  pwm1geoserap1  11309  geolim  11312  geolim2  11313  georeclim  11314  geoisum1c  11321  tanaddap  11482  cnopnap  12802  limcimo  12842  dvlemap  12857  dvconst  12869  dvid  12870  dvcnp2cntop  12871  dvaddxxbr  12873  dvmulxxbr  12874  dvcoapbr  12879  dvcjbr  12880  dvrecap  12885  dvef  12896