Theorem subgss 13732

Description: A subgroup is a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subgss	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 13731	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp2bi 1037	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  Basecbs 13053   ↾_s cress 13054  Grpcgrp 13554  SubGrpcsubg 13725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1re 8109  ax-addrcl 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-fv 5329  df-ov 6013  df-inn 9127  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-subg 13728

This theorem is referenced by:  subgbas  13736  subg0  13738  subginv  13739  subgsubcl  13743  subgsub  13744  subgmulgcl  13745  subgmulg  13746  issubg2m  13747  issubg4m  13751  subsubg  13755  subgintm  13756  trivsubgd  13758  nsgconj  13764  ssnmz  13769  eqger  13782  eqgid  13784  eqgen  13785  eqgcpbl  13786  resghm  13818  ghmnsgima  13826  conjsubg  13835  conjsubgen  13836  conjnmz  13837  conjnmzb  13838  qusecsub  13889  subgabl  13890  issubrng2  14195  issubrg2  14226  issubrg3  14232  islss4  14367  dflidl2rng  14466