Theorem subgss 13979

Description: A subgroup is a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subgss	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 13978	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp2bi 1044	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13354   ↾_s cress 13355  Grpcgrp 13807  SubGrpcsubg 13972

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9306  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-subg 13975

This theorem is used by:  subgbas  13983  subg0  13985  subginv  13986  subgsubcl  13990  subgsub  13991  subgmulgcl  13992  subgmulg  13993  issubg2m  13994  issubg4m  13998  subsubg  14002  subgintm  14003  trivsubgd  14005  nsgconj  14011  ssnmz  14016  eqger  14029  eqgid  14031  eqgen  14032  eqgcpbl  14033  resghm  14065  ghmnsgima  14073  conjsubg  14082  conjsubgen  14083  conjnmz  14084  conjnmzb  14085  qusecsub  14137  subgabl  14138  issubrng2  14520  issubrg2  14551  issubrg3  14557  islss4  14721  dflidl2rng  14820