Theorem subgss 13677

Description: A subgroup is a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subgss	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 13676	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp2bi 1018	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   ⊆ wss 3177  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  Basecbs 12998   ↾_s cress 12999  Grpcgrp 13499  SubGrpcsubg 13670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1re 8061  ax-addrcl 8064

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-fv 5302  df-ov 5977  df-inn 9079  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-subg 13673

This theorem is referenced by:  subgbas  13681  subg0  13683  subginv  13684  subgsubcl  13688  subgsub  13689  subgmulgcl  13690  subgmulg  13691  issubg2m  13692  issubg4m  13696  subsubg  13700  subgintm  13701  trivsubgd  13703  nsgconj  13709  ssnmz  13714  eqger  13727  eqgid  13729  eqgen  13730  eqgcpbl  13731  resghm  13763  ghmnsgima  13771  conjsubg  13780  conjsubgen  13781  conjnmz  13782  conjnmzb  13783  qusecsub  13834  subgabl  13835  issubrng2  14139  issubrg2  14170  issubrg3  14176  islss4  14311  dflidl2rng  14410