Theorem subgss 13671

Description: A subgroup is a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subgss	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 13670	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp2bi 1016	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ⊆ wss 3175  ‘cfv 5291  (class class class)co 5969  Basecbs 12993   ↾_s cress 12994  Grpcgrp 13493  SubGrpcsubg 13664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1re 8056  ax-addrcl 8059

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-fv 5299  df-ov 5972  df-inn 9074  df-ndx 12996  df-slot 12997  df-base 12999  df-subg 13667

This theorem is referenced by:  subgbas  13675  subg0  13677  subginv  13678  subgsubcl  13682  subgsub  13683  subgmulgcl  13684  subgmulg  13685  issubg2m  13686  issubg4m  13690  subsubg  13694  subgintm  13695  trivsubgd  13697  nsgconj  13703  ssnmz  13708  eqger  13721  eqgid  13723  eqgen  13724  eqgcpbl  13725  resghm  13757  ghmnsgima  13765  conjsubg  13774  conjsubgen  13775  conjnmz  13776  conjnmzb  13777  qusecsub  13828  subgabl  13829  issubrng2  14133  issubrg2  14164  issubrg3  14170  islss4  14305  dflidl2rng  14404