Theorem subgmulgcl 13970

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgmulgcl.t	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
subgmulgcl	|- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ N e. ZZ /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )

Proof of Theorem subgmulgcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. 2 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		subgmulgcl.t	. 2 |- .x. = (.g ` G )
3		eqid 2238	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		subgrcl 13962	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
5	1	subgss 13957	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
6	3	subgcl 13967	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. S )
7		eqid 2238	. 2 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
8	7	subg0cl 13965	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
9		eqid 2238	. 2 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
10	9	subginvcl 13966	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. S )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mulgsubcl 13919	1 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ N e. ZZ /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   ZZcz 9626   Basecbs 13333   +g cplusg 13411   0gc0g 13590   Grpcgrp 13785   invgcminusg 13786  ._gcmg 13902  SubGrpcsubg 13950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-recs 6569  df-frec 6655  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-2 9345  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904  df-seqfrec 10866  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-sets 13340  df-iress 13341  df-plusg 13424  df-0g 13592  df-mgm 13656  df-sgrp 13697  df-mnd 13710  df-grp 13788  df-minusg 13789  df-mulg 13903  df-subg 13953

This theorem is referenced by:  subgmulg  13971  zsssubrg  14897