Theorem subgmulgcl 13151

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgmulgcl.t	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
subgmulgcl	|- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ N e. ZZ /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )

Proof of Theorem subgmulgcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2189	. 2 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		subgmulgcl.t	. 2 |- .x. = (.g ` G )
3		eqid 2189	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		subgrcl 13143	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
5	1	subgss 13138	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
6	3	subgcl 13148	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. S )
7		eqid 2189	. 2 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
8	7	subg0cl 13146	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
9		eqid 2189	. 2 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
10	9	subginvcl 13147	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. S )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mulgsubcl 13101	1 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ N e. ZZ /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5238  (class class class)co 5900   ZZcz 9288   Basecbs 12523   +g cplusg 12600   0gc0g 12772   Grpcgrp 12968   invgcminusg 12969  ._gcmg 13084  SubGrpcsubg 13131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-iord 4387  df-on 4389  df-ilim 4390  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-recs 6334  df-frec 6420  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-inn 8955  df-2 9013  df-n0 9212  df-z 9289  df-uz 9564  df-seqfrec 10485  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-sets 12530  df-iress 12531  df-plusg 12613  df-0g 12774  df-mgm 12843  df-sgrp 12888  df-mnd 12901  df-grp 12971  df-minusg 12972  df-mulg 13085  df-subg 13134

This theorem is referenced by:  subgmulg  13152  zsssubrg  13913