Theorem subgmulgcl 13921

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgmulgcl.t	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
subgmulgcl	|- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ N e. ZZ /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )

Proof of Theorem subgmulgcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. 2 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		subgmulgcl.t	. 2 |- .x. = (.g ` G )
3		eqid 2234	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		subgrcl 13913	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
5	1	subgss 13908	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
6	3	subgcl 13918	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. S )
7		eqid 2234	. 2 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
8	7	subg0cl 13916	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. S )
9		eqid 2234	. 2 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
10	9	subginvcl 13917	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. S )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mulgsubcl 13870	1 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ N e. ZZ /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   ZZcz 9579   Basecbs 13229   +g cplusg 13307   0gc0g 13486   Grpcgrp 13730   invgcminusg 13731  ._gcmg 13853  SubGrpcsubg 13901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-2 9298  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-seqfrec 10814  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-sets 13236  df-iress 13237  df-plusg 13320  df-0g 13488  df-mgm 13586  df-sgrp 13632  df-mnd 13647  df-grp 13733  df-minusg 13734  df-mulg 13854  df-subg 13904

This theorem is referenced by:  subgmulg  13922  zsssubrg  14750