Theorem swrdfv0 11181

Description: The first symbol in an extracted subword. (Contributed by AV, 27-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
swrdfv0	|- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0..^ L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` 0 ) = ( S ` F ) )

Proof of Theorem swrdfv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzofz 10355	. . . 4 |- ( F e. ( 0..^ L ) -> F e. ( 0 ... L ) )
2	1	3anim2i 1210	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0..^ L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) )
3		fzonnsub 10363	. . . . 5 |- ( F e. ( 0..^ L ) -> ( L - F ) e. NN )
4	3	3ad2ant2 1043	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0..^ L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( L - F ) e. NN )
5		lbfzo0 10377	. . . 4 |- ( 0 e. ( 0..^ ( L - F ) ) <-> ( L - F ) e. NN )
6	4, 5	sylibr 134	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0..^ L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> 0 e. ( 0..^ ( L - F ) ) )
7		swrdfv 11180	. . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) /\ 0 e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` 0 ) = ( S ` ( 0 + F ) ) )
8	2, 6, 7	syl2anc 411	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0..^ L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` 0 ) = ( S ` ( 0 + F ) ) )
9		elfzoelz 10339	. . . . . 6 |- ( F e. ( 0..^ L ) -> F e. ZZ )
10	9	zcnd 9566	. . . . 5 |- ( F e. ( 0..^ L ) -> F e. CC )
11	10	addlidd 8292	. . . 4 |- ( F e. ( 0..^ L ) -> ( 0 + F ) = F )
12	11	fveq2d 5630	. . 3 |- ( F e. ( 0..^ L ) -> ( S ` ( 0 + F ) ) = ( S ` F ) )
13	12	3ad2ant2 1043	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0..^ L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( S ` ( 0 + F ) ) = ( S ` F ) )
14	8, 13	eqtrd 2262	1 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0..^ L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` 0 ) = ( S ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3669   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   0cc0 7995   + caddc 7998   - cmin 8313   NNcn 9106   ...cfz 10200  ..^cfzo 10334  ♯chash 10992  Word cword 11066   substr csubstr 11172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-ihash 10993  df-word 11067  df-substr 11173

This theorem is referenced by: (None)