ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  swrdfv Unicode version
Theorem swrdfv 11221
Description: A symbol in an extracted subword, indexed using the subword's indices. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrdfv |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) /\ X e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` X ) = ( S ` ( X + F ) ) )
Proof of Theorem swrdfv
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdval2 11219 . . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( S substr <. F , L >. ) = ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) )
21fveq1d 5635 . . 3 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` X ) = ( ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) ` X ) )
32adantr 276 . 2 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) /\ X e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` X ) = ( ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) ` X ) )
4 eqid 2229 . . 3 |- ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) )
5 fvoveq1 6034 . . 3 |- ( x = X -> ( S ` ( x + F ) ) = ( S ` ( X + F ) ) )
6 simpr 110 . . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) /\ X e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> X e. ( 0..^ ( L - F ) ) )
7 simpl1 1024 . . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) /\ X e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> S e. Word A )
8 elfzoelz 10370 . . . . . 6 |- ( X e. ( 0..^ ( L - F ) ) -> X e. ZZ )
98adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) /\ X e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> X e. ZZ )
10 elfzelz 10248 . . . . . . 7 |- ( F e. ( 0 ... L ) -> F e. ZZ )
11103ad2ant2 1043 . . . . . 6 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> F e. ZZ )
1211adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) /\ X e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> F e. ZZ )
139, 12zaddcld 9594 . . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) /\ X e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( X + F ) e. ZZ )
14 fvexg 5652 . . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ ( X + F ) e. ZZ ) -> ( S ` ( X + F ) ) e. _V )
157, 13, 14syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) /\ X e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( S ` ( X + F ) ) e. _V )
164, 5, 6, 15fvmptd3 5734 . 2 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) /\ X e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) ` X ) = ( S ` ( X + F ) ) )
173, 16eqtrd 2262 1 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) /\ X e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` X ) = ( S ` ( X + F ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   <.cop 3670   |-> cmpt 4146   ` cfv 5322  (class class class)co 6011   0cc0 8020   + caddc 8023   - cmin 8338   ZZcz 9467   ...cfz 10231  ..^cfzo 10365  ♯chash 11025  Word cword 11100   substr csubstr 11213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-nul 4211  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-iinf 4682  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-apti 8135  ax-pre-ltadd 8136
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-tr 4184  df-id 4386  df-iord 4459  df-on 4461  df-ilim 4462  df-suc 4464  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-recs 6464  df-frec 6550  df-1o 6575  df-er 6695  df-en 6903  df-dom 6904  df-fin 6905  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-inn 9132  df-n0 9391  df-z 9468  df-uz 9744  df-fz 10232  df-fzo 10366  df-ihash 11026  df-word 11101  df-substr 11214
This theorem is referenced by:  swrdfv0  11222  swrdfv2  11231  swrds1  11236  ccatswrd  11238  swrdccat2  11239  pfxfv  11252  ccatpfx  11269  swrdswrd  11273  swrdccatin1  11293  swrdccatin2  11297  pfxccatin12lem2  11299  pfxccatin12lem3  11300
  Copyright terms: Public domain W3C validator