Theorem unitgrpbasd 13282

Description: The base set of the group of units. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitgrpbasd.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
unitgrpbasd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
unitgrpbasd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)

Assertion

Ref	Expression
unitgrpbasd	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem unitgrpbasd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitgrpbasd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
2		unitgrpbasd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
3		eqid 2177	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
4		eqid 2177	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	3, 4	mgpbasg 13134	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7	3	mgpex 13133	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
8	2, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
9		eqidd 2178	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
10		unitgrpbasd.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
11	9, 10, 2	unitssd 13276	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
12	1, 6, 8, 11	ressbas2d 12527	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12461   ↾_s cress 12462  mulGrpcmgp 13128  SRingcsrg 13144  Unitcui 13254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-ltxr 7996  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-ndx 12464  df-slot 12465  df-base 12467  df-sets 12468  df-iress 12469  df-plusg 12548  df-mulr 12549  df-0g 12706  df-mgm 12774  df-sgrp 12807  df-mnd 12817  df-mgp 13129  df-srg 13145  df-dvdsr 13256  df-unit 13257

This theorem is referenced by:  unitgrp  13283  unitinvcl  13290  unitinvinv  13291  unitlinv  13293  unitrinv  13294  rdivmuldivd  13311  invrpropdg  13316  subrgugrp  13359