Theorem unitgrpbasd 13921

Description: The base set of the group of units. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitgrpbasd.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
unitgrpbasd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
unitgrpbasd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)

Assertion

Ref	Expression
unitgrpbasd	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem unitgrpbasd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitgrpbasd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
2		unitgrpbasd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
3		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
4		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	3, 4	mgpbasg 13732	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7	3	mgpex 13731	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
8	2, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
9		eqidd 2207	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
10		unitgrpbasd.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
11	9, 10, 2	unitssd 13915	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
12	1, 6, 8, 11	ressbas2d 12944	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  Basecbs 12876   ↾_s cress 12877  mulGrpcmgp 13726  SRingcsrg 13769  Unitcui 13893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-ltxr 8119  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-iress 12884  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-0g 13134  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-mgp 13727  df-srg 13770  df-dvdsr 13895  df-unit 13896

This theorem is referenced by:  unitgrp  13922  unitinvcl  13929  unitinvinv  13930  unitlinv  13932  unitrinv  13933  rdivmuldivd  13950  invrpropdg  13955  rhmunitinv  13984  subrgugrp  14046