Theorem unitgrpbasd 14506

Description: The base set of the group of units. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitgrpbasd.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
unitgrpbasd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
unitgrpbasd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)

Assertion

Ref	Expression
unitgrpbasd	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem unitgrpbasd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitgrpbasd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
2		unitgrpbasd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
3		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
4		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	3, 4	mgpbasg 14308	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7	3	mgpex 14307	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
8	2, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
9		eqidd 2239	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
10		unitgrpbasd.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
11	9, 10, 2	unitssd 14500	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
12	1, 6, 8, 11	ressbas2d 13475	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13404   ↾_s cress 13405  mulGrpcmgp 14301  SRingcsrg 14351  Unitcui 14477

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-iress 13412  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-mgp 14302  df-srg 14352  df-dvdsr 14479  df-unit 14480

This theorem is used by:  unitgrp  14507  unitinvcl  14514  unitinvinv  14515  unitlinv  14517  unitrinv  14518  rdivmuldivd  14535  invrpropdg  14540  rhmunitinv  14569  subrgugrp  14632