Theorem unitinvcl 14143

Description: The inverse of a unit exists and is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitinvcl.1	|- U = (Unit ` R )
unitinvcl.2	|- I = ( invr ` R )

Assertion

Ref	Expression
unitinvcl	|- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( I ` X ) e. U )

Proof of Theorem unitinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitinvcl.1	. . . . . . 7 |- U = (Unit ` R )
2	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> U = (Unit ` R ) )
3		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) = ( (mulGrp ` R ) ↾s U )
4	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) = ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
5		ringsrg 14066	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
6	2, 4, 5	unitgrpbasd 14135	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> U = ( Base ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) ) )
7	6	eleq2d 2301	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( X e. U <-> X e. ( Base ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) ) ) )
8	7	pm5.32i 454	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) <-> ( R e. Ring /\ X e. ( Base ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) ) ) )
9	1, 3	unitgrp 14136	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) e. Grp )
10		eqid 2231	. . . . 5 |- ( Base ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) ) = ( Base ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
11		eqid 2231	. . . . 5 |- ( invg ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) ) = ( invg ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
12	10, 11	grpinvcl 13636	. . . 4 |- ( ( ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) e. Grp /\ X e. ( Base ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) ) ) -> ( ( invg ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) ) ` X ) e. ( Base ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) ) )
13	9, 12	sylan 283	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. ( Base ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) ) ) -> ( ( invg ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) ) ` X ) e. ( Base ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) ) )
14	8, 13	sylbi 121	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( ( invg ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) ) ` X ) e. ( Base ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) ) )
15		unitinvcl.2	. . . . . . 7 |- I = ( invr ` R )
16	15	a1i 9	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> I = ( invr ` R ) )
17		id 19	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> R e. Ring )
18	2, 4, 16, 17	invrfvald 14142	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> I = ( invg ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) ) )
19	18	fveq1d 5641	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( I ` X ) = ( ( invg ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) ) ` X ) )
20	19, 6	eleq12d 2302	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( I ` X ) e. U <-> ( ( invg ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) ) ` X ) e. ( Base ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) ) ) )
21	20	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( ( I ` X ) e. U <-> ( ( invg ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) ) ` X ) e. ( Base ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) ) ) )
22	14, 21	mpbird 167	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( I ` X ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13087   ↾_s cress 13088   Grpcgrp 13588   invgcminusg 13589  mulGrpcmgp 13939   Ringcrg 14015  Unitcui 14106   invrcinvr 14140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-tpos 6411  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-sets 13094  df-iress 13095  df-plusg 13178  df-mulr 13179  df-0g 13346  df-mgm 13444  df-sgrp 13490  df-mnd 13505  df-grp 13591  df-minusg 13592  df-cmn 13878  df-abl 13879  df-mgp 13940  df-ur 13979  df-srg 13983  df-ring 14017  df-oppr 14087  df-dvdsr 14108  df-unit 14109  df-invr 14141

This theorem is referenced by:  ringinvcl  14145  dvrvald  14154  unitdvcl  14156  dvrdir  14163  rdivmuldivd  14164  rhmunitinv  14198  subrguss  14256  subrgugrp  14260