Theorem unitssd 13986

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcld.1	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
unitcld.2	|- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
unitcld.r	|- ( ph -> R e. SRing )

Assertion

Ref	Expression
unitssd	|- ( ph -> U C_ B )

Proof of Theorem unitssd

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcld.1	. . . . 5 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> B = ( Base ` R ) )
3		unitcld.2	. . . . 5 |- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
4	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> U = (Unit ` R ) )
5		unitcld.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. SRing )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> R e. SRing )
7		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> x e. U )
8	2, 4, 6, 7	unitcld 13985	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> x e. B )
9	8	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( x e. U -> x e. B ) )
10	9	ssrdv 3207	1 |- ( ph -> U C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   C_ wss 3174   ` cfv 5290   Basecbs 12947  SRingcsrg 13840  Unitcui 13964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-mgp 13798  df-srg 13841  df-dvdsr 13966  df-unit 13967

This theorem is referenced by:  unitgrpbasd  13992  unitgrp  13993  unitabl  13994  unitgrpid  13995  unitsubm  13996  unitlinv  14003  unitrinv  14004  dvrfvald  14010  rdivmuldivd  14021  invrpropdg  14026  rhmunitinv  14055  subrgugrp  14117