Theorem unitgrpid 14097

Description: The identity of the group of units of a ring is the ring unity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitgrp.1	|- U = (Unit ` R )
unitgrp.2	|- G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U )
unitgrp.3	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
unitgrpid	|- ( R e. Ring -> .1. = ( 0g ` G ) )

Proof of Theorem unitgrpid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2230	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
2		unitgrp.1	. . . 4 |- U = (Unit ` R )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( R e. Ring -> U = (Unit ` R ) )
4		ringsrg 14025	. . 3 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
5	1, 3, 4	unitssd 14088	. 2 |- ( R e. Ring -> U C_ ( Base ` R ) )
6		unitgrp.3	. . 3 |- .1. = ( 1r ` R )
7	2, 6	1unit 14086	. 2 |- ( R e. Ring -> .1. e. U )
8		unitgrp.2	. . 3 |- G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U )
9		eqid 2229	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
10	8, 9, 6	ringidss 14007	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ U C_ ( Base ` R ) /\ .1. e. U ) -> .1. = ( 0g ` G ) )
11	5, 7, 10	mpd3an23 1373	1 |- ( R e. Ring -> .1. = ( 0g ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Basecbs 13047   ↾_s cress 13048   0gc0g 13304  mulGrpcmgp 13898   1rcur 13937   Ringcrg 13974  Unitcui 14065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-tpos 6397  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-sets 13054  df-iress 13055  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-0g 13306  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-grp 13551  df-minusg 13552  df-cmn 13838  df-abl 13839  df-mgp 13899  df-ur 13938  df-srg 13942  df-ring 13976  df-oppr 14046  df-dvdsr 14067  df-unit 14068

This theorem is referenced by:  unitlinv  14105  unitrinv  14106