Theorem unitgrpid 13674

Description: The identity of the group of units of a ring is the ring unity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitgrp.1	|- U = (Unit ` R )
unitgrp.2	|- G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U )
unitgrp.3	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
unitgrpid	|- ( R e. Ring -> .1. = ( 0g ` G ) )

Proof of Theorem unitgrpid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2197	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
2		unitgrp.1	. . . 4 |- U = (Unit ` R )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( R e. Ring -> U = (Unit ` R ) )
4		ringsrg 13603	. . 3 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
5	1, 3, 4	unitssd 13665	. 2 |- ( R e. Ring -> U C_ ( Base ` R ) )
6		unitgrp.3	. . 3 |- .1. = ( 1r ` R )
7	2, 6	1unit 13663	. 2 |- ( R e. Ring -> .1. e. U )
8		unitgrp.2	. . 3 |- G = ( (mulGrp ` R ) ↾s U )
9		eqid 2196	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
10	8, 9, 6	ringidss 13585	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ U C_ ( Base ` R ) /\ .1. e. U ) -> .1. = ( 0g ` G ) )
11	5, 7, 10	mpd3an23 1350	1 |- ( R e. Ring -> .1. = ( 0g ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   ↾_s cress 12679   0gc0g 12927  mulGrpcmgp 13476   1rcur 13515   Ringcrg 13552  Unitcui 13643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-tpos 6303  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-cmn 13416  df-abl 13417  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-srg 13520  df-ring 13554  df-oppr 13624  df-dvdsr 13645  df-unit 13646

This theorem is referenced by:  unitlinv  13682  unitrinv  13683