Theorem unitgrpid 14090

Description: The identity of the group of units of a ring is the ring unity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitgrp.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitgrp.2	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
unitgrp.3	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitgrpid	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘𝐺))

Proof of Theorem unitgrpid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2230	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
2		unitgrp.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
4		ringsrg 14018	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
5	1, 3, 4	unitssd 14081	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
6		unitgrp.3	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	2, 6	1unit 14079	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)
8		unitgrp.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
9		eqid 2229	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	8, 9, 6	ringidss 14000	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ 𝑈) → 1 = (0g‘𝐺))
11	5, 7, 10	mpd3an23 1373	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13040   ↾_s cress 13041  0_gc0g 13297  mulGrpcmgp 13891  1_rcur 13930  Ringcrg 13967  Unitcui 14058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-tpos 6397  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-ltxr 8194  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-iress 13048  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-0g 13299  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-grp 13544  df-minusg 13545  df-cmn 13831  df-abl 13832  df-mgp 13892  df-ur 13931  df-srg 13935  df-ring 13969  df-oppr 14039  df-dvdsr 14060  df-unit 14061

This theorem is referenced by:  unitlinv  14098  unitrinv  14099