Theorem unitgrpid 14103

Description: The identity of the group of units of a ring is the ring unity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitgrp.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitgrp.2	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
unitgrp.3	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitgrpid	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘𝐺))

Proof of Theorem unitgrpid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2230	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
2		unitgrp.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
4		ringsrg 14031	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
5	1, 3, 4	unitssd 14094	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
6		unitgrp.3	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	2, 6	1unit 14092	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)
8		unitgrp.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
9		eqid 2229	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	8, 9, 6	ringidss 14013	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ 𝑈) → 1 = (0g‘𝐺))
11	5, 7, 10	mpd3an23 1373	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  Basecbs 13053   ↾_s cress 13054  0_gc0g 13310  mulGrpcmgp 13904  1_rcur 13943  Ringcrg 13980  Unitcui 14071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-tpos 6402  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-ltxr 8202  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-iress 13061  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-0g 13312  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-grp 13557  df-minusg 13558  df-cmn 13844  df-abl 13845  df-mgp 13905  df-ur 13944  df-srg 13948  df-ring 13982  df-oppr 14052  df-dvdsr 14073  df-unit 14074

This theorem is referenced by:  unitlinv  14111  unitrinv  14112