Theorem upgrfi 16023

Description: An edge is a finite subset of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isupgr.v	|- V = (Vtx ` G )
isupgr.e	|- E = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
upgrfi	|- ( ( G e. UPGraph /\ E Fn A /\ F e. A ) -> ( E ` F ) e. Fin )

Proof of Theorem upgrfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isupgr.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
2		isupgr.e	. . 3 |- E = (iEdg ` G )
3	1, 2	upgr1or2 16022	. 2 |- ( ( G e. UPGraph /\ E Fn A /\ F e. A ) -> ( ( E ` F ) ~~ 1o \/ ( E ` F ) ~~ 2o ) )
4		1onn 6731	. . . . 5 |- 1o e. om
5		nnfi 7102	. . . . 5 |- ( 1o e. om -> 1o e. Fin )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- 1o e. Fin
7		enfii 7104	. . . 4 |- ( ( 1o e. Fin /\ ( E ` F ) ~~ 1o ) -> ( E ` F ) e. Fin )
8	6, 7	mpan 424	. . 3 |- ( ( E ` F ) ~~ 1o -> ( E ` F ) e. Fin )
9		2onn 6732	. . . . 5 |- 2o e. om
10		nnfi 7102	. . . . 5 |- ( 2o e. om -> 2o e. Fin )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 |- 2o e. Fin
12		enfii 7104	. . . 4 |- ( ( 2o e. Fin /\ ( E ` F ) ~~ 2o ) -> ( E ` F ) e. Fin )
13	11, 12	mpan 424	. . 3 |- ( ( E ` F ) ~~ 2o -> ( E ` F ) e. Fin )
14	8, 13	jaoi 724	. 2 |- ( ( ( E ` F ) ~~ 1o \/ ( E ` F ) ~~ 2o ) -> ( E ` F ) e. Fin )
15	3, 14	syl 14	1 |- ( ( G e. UPGraph /\ E Fn A /\ F e. A ) -> ( E ` F ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 716   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   omcom 4694   Fn wfn 5328   ` cfv 5333   1oc1o 6618   2oc2o 6619   ~~ cen 6950   Fincfn 6952  Vtxcvtx 15933  iEdgciedg 15934  UPGraphcupgr 16012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-sub 8395  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-dec 9655  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-edgf 15926  df-vtx 15935  df-iedg 15936  df-upgren 16014

This theorem is referenced by:  vtxedgfi  16210  vtxlpfi  16211