Theorem upgrfi 16089

Description: An edge is a finite subset of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isupgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isupgr.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgrfi	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)

Proof of Theorem upgrfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isupgr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		isupgr.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	upgr1or2 16088	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → ((𝐸‘𝐹) ≈ 1o ∨ (𝐸‘𝐹) ≈ 2o))
4		1onn 6752	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ ω
5		nnfi 7126	. . . . 5 ⊢ (1o ∈ ω → 1o ∈ Fin)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1o ∈ Fin
7		enfii 7128	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ Fin ∧ (𝐸‘𝐹) ≈ 1o) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)
8	6, 7	mpan 424	. . 3 ⊢ ((𝐸‘𝐹) ≈ 1o → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)
9		2onn 6753	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
10		nnfi 7126	. . . . 5 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2o ∈ Fin
12		enfii 7128	. . . 4 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ (𝐸‘𝐹) ≈ 2o) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)
13	11, 12	mpan 424	. . 3 ⊢ ((𝐸‘𝐹) ≈ 2o → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)
14	8, 13	jaoi 724	. 2 ⊢ (((𝐸‘𝐹) ≈ 1o ∨ (𝐸‘𝐹) ≈ 2o) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)
15	3, 14	syl 14	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  ωcom 4711   Fn wfn 5346  ‘cfv 5351  1_oc1o 6639  2_oc2o 6640   ≈ cen 6972  Fincfn 6974  Vtxcvtx 15999  iEdgciedg 16000  UPGraphcupgr 16078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-1o 6646  df-2o 6647  df-er 6766  df-en 6975  df-fin 6977  df-sub 8445  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-dec 9709  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-edgf 15992  df-vtx 16001  df-iedg 16002  df-upgren 16080

This theorem is referenced by:  vtxedgfi  16276  vtxlpfi  16277