Theorem upgrfi 16560

Description: An edge is a finite subset of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isupgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isupgr.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgrfi	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)

Proof of Theorem upgrfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isupgr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		isupgr.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	upgr1or2 16559	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → ((𝐸‘𝐹) ≈ 1o ∨ (𝐸‘𝐹) ≈ 2o))
4		1onn 6797	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ ω
5		nnfi 7179	. . . . 5 ⊢ (1o ∈ ω → 1o ∈ Fin)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1o ∈ Fin
7		enfii 7181	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ Fin ∧ (𝐸‘𝐹) ≈ 1o) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)
8	6, 7	mpan 428	. . 3 ⊢ ((𝐸‘𝐹) ≈ 1o → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)
9		2onn 6798	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
10		nnfi 7179	. . . . 5 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2o ∈ Fin
12		enfii 7181	. . . 4 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ (𝐸‘𝐹) ≈ 2o) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)
13	11, 12	mpan 428	. . 3 ⊢ ((𝐸‘𝐹) ≈ 2o → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)
14	8, 13	jaoi 728	. 2 ⊢ (((𝐸‘𝐹) ≈ 1o ∨ (𝐸‘𝐹) ≈ 2o) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)
15	3, 14	syl 14	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ωcom 4739   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  1_oc1o 6684  2_oc2o 6685   ≈ cen 7025  Fincfn 7027  Vtxcvtx 16470  iEdgciedg 16471  UPGraphcupgr 16549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7028  df-fin 7030  df-sub 8507  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-dec 9790  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-edgf 16463  df-vtx 16472  df-iedg 16473  df-upgren 16551

This theorem is used by:  vtxedgfi  16747  vtxlpfi  16748