Theorem upgrfi 15748

Description: An edge is a finite subset of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isupgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isupgr.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgrfi	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)

Proof of Theorem upgrfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isupgr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		isupgr.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	upgr1or2 15747	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → ((𝐸‘𝐹) ≈ 1o ∨ (𝐸‘𝐹) ≈ 2o))
4		1onn 6616	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ ω
5		nnfi 6981	. . . . 5 ⊢ (1o ∈ ω → 1o ∈ Fin)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 1o ∈ Fin
7		enfii 6983	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ Fin ∧ (𝐸‘𝐹) ≈ 1o) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)
8	6, 7	mpan 424	. . 3 ⊢ ((𝐸‘𝐹) ≈ 1o → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)
9		2onn 6617	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
10		nnfi 6981	. . . . 5 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2o ∈ Fin
12		enfii 6983	. . . 4 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ (𝐸‘𝐹) ≈ 2o) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)
13	11, 12	mpan 424	. . 3 ⊢ ((𝐸‘𝐹) ≈ 2o → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)
14	8, 13	jaoi 718	. 2 ⊢ (((𝐸‘𝐹) ≈ 1o ∨ (𝐸‘𝐹) ≈ 2o) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)
15	3, 14	syl 14	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 710   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4048  ωcom 4643   Fn wfn 5272  ‘cfv 5277  1_oc1o 6505  2_oc2o 6506   ≈ cen 6835  Fincfn 6837  Vtxcvtx 15661  iEdgciedg 15662  UPGraphcupgr 15737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-cnre 8049

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-1o 6512  df-2o 6513  df-er 6630  df-en 6838  df-fin 6840  df-sub 8258  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-5 9111  df-6 9112  df-7 9113  df-8 9114  df-9 9115  df-n0 9309  df-dec 9518  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-base 12888  df-edgf 15654  df-vtx 15663  df-iedg 15664  df-upgren 15739

This theorem is referenced by: (None)