Theorem uspgr1ewopdc 16468

Description: A simple pseudograph with (at least) two vertices and one edge represented by a singleton word. (Contributed by AV, 9-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgr1ewopdc.v	|- ( ph -> V e. W )
uspgr1ewopdc.a	|- ( ph -> A e. V )
uspgr1ewopdc.b	|- ( ph -> B e. V )
uspgr1ewopdc.dc	|- ( ph -> DECID A = B )

Assertion

Ref	Expression
uspgr1ewopdc	|- ( ph -> <. V , <" { A , B } "> >. e. USPGraph )

Proof of Theorem uspgr1ewopdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgr1ewopdc.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
2		uspgr1ewopdc.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. V )
3		prexg 4347	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> { A , B } e. _V )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> { A , B } e. _V )
5		s1val 11368	. . . 4 |- ( { A , B } e. _V -> <" { A , B } "> = { <. 0 , { A , B } >. } )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ph -> <" { A , B } "> = { <. 0 , { A , B } >. } )
7	6	opeq2d 3909	. 2 |- ( ph -> <. V , <" { A , B } "> >. = <. V , { <. 0 , { A , B } >. } >. )
8		uspgr1ewopdc.v	. . 3 |- ( ph -> V e. W )
9		c0ex 8314	. . . 4 |- 0 e. _V
10	9	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 0 e. _V )
11		uspgr1ewopdc.dc	. . 3 |- ( ph -> DECID A = B )
12	8, 10, 1, 2, 11	uspgr1eopdc 16467	. 2 |- ( ph -> <. V , { <. 0 , { A , B } >. } >. e. USPGraph )
13	7, 12	eqeltrd 2315	1 |- ( ph -> <. V , <" { A , B } "> >. e. USPGraph )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {csn 3708   {cpr 3709   <.cop 3711   0cc0 8173   <"cs1 11366  USPGraphcuspgr 16377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-1o 6681  df-2o 6682  df-er 6801  df-en 7017  df-sub 8493  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-dec 9761  df-s1 11367  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-edgf 16229  df-vtx 16238  df-iedg 16239  df-uspgren 16379

This theorem is referenced by: (None)