Theorem uspgredg2vlem 16039

Description: Lemma for uspgredg2v 16040. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 6-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgredg2v.v	|- V = (Vtx ` G )
uspgredg2v.e	|- E = (Edg ` G )
uspgredg2v.a	|- A = { e e. E | N e. e }

Assertion

Ref	Expression
uspgredg2vlem	|- ( ( G e. USPGraph /\ Y e. A ) -> ( iota_ z e. V Y = { N , z } ) e. V )

Distinct variable groups:   e, E   z, G   e, N   z, N   z, V   e, Y   z, Y

Allowed substitution hints:   A( z, e)   E( z)   G( e)   V( e)

Proof of Theorem uspgredg2vlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2293	. . 3 |- ( e = Y -> ( N e. e <-> N e. Y ) )
2		uspgredg2v.a	. . 3 |- A = { e e. E | N e. e }
3	1, 2	elrab2 2962	. 2 |- ( Y e. A <-> ( Y e. E /\ N e. Y ) )
4		simpl 109	. . . 4 |- ( ( G e. USPGraph /\ ( Y e. E /\ N e. Y ) ) -> G e. USPGraph )
5		uspgredg2v.e	. . . . . . 7 |- E = (Edg ` G )
6	5	eleq2i 2296	. . . . . 6 |- ( Y e. E <-> Y e. (Edg ` G ) )
7	6	biimpi 120	. . . . 5 |- ( Y e. E -> Y e. (Edg ` G ) )
8	7	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( G e. USPGraph /\ ( Y e. E /\ N e. Y ) ) -> Y e. (Edg ` G ) )
9		simprr 531	. . . 4 |- ( ( G e. USPGraph /\ ( Y e. E /\ N e. Y ) ) -> N e. Y )
10	4, 8, 9	3jca 1201	. . 3 |- ( ( G e. USPGraph /\ ( Y e. E /\ N e. Y ) ) -> ( G e. USPGraph /\ Y e. (Edg ` G ) /\ N e. Y ) )
11		uspgredg2vtxeu 16037	. . . 4 |- ( ( G e. USPGraph /\ Y e. (Edg ` G ) /\ N e. Y ) -> E! z e. (Vtx ` G ) Y = { N , z } )
12		uspgredg2v.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
13		reueq1 2730	. . . . 5 |- ( V = (Vtx ` G ) -> ( E! z e. V Y = { N , z } <-> E! z e. (Vtx ` G ) Y = { N , z } ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 |- ( E! z e. V Y = { N , z } <-> E! z e. (Vtx ` G ) Y = { N , z } )
15	11, 14	sylibr 134	. . 3 |- ( ( G e. USPGraph /\ Y e. (Edg ` G ) /\ N e. Y ) -> E! z e. V Y = { N , z } )
16		riotacl 5979	. . 3 |- ( E! z e. V Y = { N , z } -> ( iota_ z e. V Y = { N , z } ) e. V )
17	10, 15, 16	3syl 17	. 2 |- ( ( G e. USPGraph /\ ( Y e. E /\ N e. Y ) ) -> ( iota_ z e. V Y = { N , z } ) e. V )
18	3, 17	sylan2b 287	1 |- ( ( G e. USPGraph /\ Y e. A ) -> ( iota_ z e. V Y = { N , z } ) e. V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   E!wreu 2510   {crab 2512   {cpr 3667   ` cfv 5321   iota_crio 5962  Vtxcvtx 15834  Edgcedg 15879  USPGraphcuspgr 15972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-1o 6573  df-2o 6574  df-en 6901  df-sub 8335  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-dec 9595  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-edgf 15827  df-vtx 15836  df-iedg 15837  df-edg 15880  df-upgren 15914  df-uspgren 15974

This theorem is referenced by:  uspgredg2v  16040