Theorem uspgredg2vlem 16473

Description: Lemma for uspgredg2v 16474. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 6-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgredg2v.v	|- V = (Vtx ` G )
uspgredg2v.e	|- E = (Edg ` G )
uspgredg2v.a	|- A = { e e. E | N e. e }

Assertion

Ref	Expression
uspgredg2vlem	|- ( ( G e. USPGraph /\ Y e. A ) -> ( iota_ z e. V Y = { N , z } ) e. V )

Distinct variable groups:   e, E   z, G   e, N   z, N   z, V   e, Y   z, Y

Allowed substitution hints:   A( z, e)   E( z)   G( e)   V( e)

Proof of Theorem uspgredg2vlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2302	. . 3 |- ( e = Y -> ( N e. e <-> N e. Y ) )
2		uspgredg2v.a	. . 3 |- A = { e e. E | N e. e }
3	1, 2	elrab2 2985	. 2 |- ( Y e. A <-> ( Y e. E /\ N e. Y ) )
4		simpl 109	. . . 4 |- ( ( G e. USPGraph /\ ( Y e. E /\ N e. Y ) ) -> G e. USPGraph )
5		uspgredg2v.e	. . . . . . 7 |- E = (Edg ` G )
6	5	eleq2i 2305	. . . . . 6 |- ( Y e. E <-> Y e. (Edg ` G ) )
7	6	biimpi 120	. . . . 5 |- ( Y e. E -> Y e. (Edg ` G ) )
8	7	ad2antrl 494	. . . 4 |- ( ( G e. USPGraph /\ ( Y e. E /\ N e. Y ) ) -> Y e. (Edg ` G ) )
9		simprr 537	. . . 4 |- ( ( G e. USPGraph /\ ( Y e. E /\ N e. Y ) ) -> N e. Y )
10	4, 8, 9	3jca 1208	. . 3 |- ( ( G e. USPGraph /\ ( Y e. E /\ N e. Y ) ) -> ( G e. USPGraph /\ Y e. (Edg ` G ) /\ N e. Y ) )
11		uspgredg2vtxeu 16471	. . . 4 |- ( ( G e. USPGraph /\ Y e. (Edg ` G ) /\ N e. Y ) -> E! z e. (Vtx ` G ) Y = { N , z } )
12		uspgredg2v.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
13		reueq1 2751	. . . . 5 |- ( V = (Vtx ` G ) -> ( E! z e. V Y = { N , z } <-> E! z e. (Vtx ` G ) Y = { N , z } ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 |- ( E! z e. V Y = { N , z } <-> E! z e. (Vtx ` G ) Y = { N , z } )
15	11, 14	sylibr 134	. . 3 |- ( ( G e. USPGraph /\ Y e. (Edg ` G ) /\ N e. Y ) -> E! z e. V Y = { N , z } )
16		riotacl 6054	. . 3 |- ( E! z e. V Y = { N , z } -> ( iota_ z e. V Y = { N , z } ) e. V )
17	10, 15, 16	3syl 17	. 2 |- ( ( G e. USPGraph /\ ( Y e. E /\ N e. Y ) ) -> ( iota_ z e. V Y = { N , z } ) e. V )
18	3, 17	sylan2b 287	1 |- ( ( G e. USPGraph /\ Y e. A ) -> ( iota_ z e. V Y = { N , z } ) e. V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   E!wreu 2530   {crab 2532   {cpr 3710   ` cfv 5377   iota_crio 6037  Vtxcvtx 16265  Edgcedg 16310  USPGraphcuspgr 16406

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-1o 6687  df-2o 6688  df-en 7023  df-sub 8499  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-dec 9780  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-edgf 16258  df-vtx 16267  df-iedg 16268  df-edg 16311  df-upgren 16346  df-uspgren 16408

This theorem is used by:  uspgredg2v  16474