Theorem uspgredg2vlem 16026

Description: Lemma for uspgredg2v 16027. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 6-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgredg2v.v	|- V = (Vtx ` G )
uspgredg2v.e	|- E = (Edg ` G )
uspgredg2v.a	|- A = { e e. E | N e. e }

Assertion

Ref	Expression
uspgredg2vlem	|- ( ( G e. USPGraph /\ Y e. A ) -> ( iota_ z e. V Y = { N , z } ) e. V )

Distinct variable groups:   e, E   z, G   e, N   z, N   z, V   e, Y   z, Y

Allowed substitution hints:   A( z, e)   E( z)   G( e)   V( e)

Proof of Theorem uspgredg2vlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2293	. . 3 |- ( e = Y -> ( N e. e <-> N e. Y ) )
2		uspgredg2v.a	. . 3 |- A = { e e. E | N e. e }
3	1, 2	elrab2 2962	. 2 |- ( Y e. A <-> ( Y e. E /\ N e. Y ) )
4		simpl 109	. . . 4 |- ( ( G e. USPGraph /\ ( Y e. E /\ N e. Y ) ) -> G e. USPGraph )
5		uspgredg2v.e	. . . . . . 7 |- E = (Edg ` G )
6	5	eleq2i 2296	. . . . . 6 |- ( Y e. E <-> Y e. (Edg ` G ) )
7	6	biimpi 120	. . . . 5 |- ( Y e. E -> Y e. (Edg ` G ) )
8	7	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( G e. USPGraph /\ ( Y e. E /\ N e. Y ) ) -> Y e. (Edg ` G ) )
9		simprr 531	. . . 4 |- ( ( G e. USPGraph /\ ( Y e. E /\ N e. Y ) ) -> N e. Y )
10	4, 8, 9	3jca 1201	. . 3 |- ( ( G e. USPGraph /\ ( Y e. E /\ N e. Y ) ) -> ( G e. USPGraph /\ Y e. (Edg ` G ) /\ N e. Y ) )
11		uspgredg2vtxeu 16024	. . . 4 |- ( ( G e. USPGraph /\ Y e. (Edg ` G ) /\ N e. Y ) -> E! z e. (Vtx ` G ) Y = { N , z } )
12		uspgredg2v.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
13		reueq1 2730	. . . . 5 |- ( V = (Vtx ` G ) -> ( E! z e. V Y = { N , z } <-> E! z e. (Vtx ` G ) Y = { N , z } ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 |- ( E! z e. V Y = { N , z } <-> E! z e. (Vtx ` G ) Y = { N , z } )
15	11, 14	sylibr 134	. . 3 |- ( ( G e. USPGraph /\ Y e. (Edg ` G ) /\ N e. Y ) -> E! z e. V Y = { N , z } )
16		riotacl 5976	. . 3 |- ( E! z e. V Y = { N , z } -> ( iota_ z e. V Y = { N , z } ) e. V )
17	10, 15, 16	3syl 17	. 2 |- ( ( G e. USPGraph /\ ( Y e. E /\ N e. Y ) ) -> ( iota_ z e. V Y = { N , z } ) e. V )
18	3, 17	sylan2b 287	1 |- ( ( G e. USPGraph /\ Y e. A ) -> ( iota_ z e. V Y = { N , z } ) e. V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   E!wreu 2510   {crab 2512   {cpr 3667   ` cfv 5318   iota_crio 5959  Vtxcvtx 15821  Edgcedg 15866  USPGraphcuspgr 15959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-1o 6568  df-2o 6569  df-en 6896  df-sub 8327  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-dec 9587  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-edgf 15814  df-vtx 15823  df-iedg 15824  df-edg 15867  df-upgren 15901  df-uspgren 15961

This theorem is referenced by:  uspgredg2v  16027