Theorem uspgredg2vtxeu 15981

Description: For a vertex incident to an edge there is exactly one other vertex incident to the edge in a simple pseudograph. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 6-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uspgredg2vtxeu	|- ( ( G e. USPGraph /\ E e. (Edg ` G ) /\ Y e. E ) -> E! y e. (Vtx ` G ) E = { Y , y } )

Distinct variable groups:   y, E   y, G   y, Y

Proof of Theorem uspgredg2vtxeu

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgrupgr 15944	. . 3 |- ( G e. USPGraph -> G e. UPGraph )
2		eqid 2209	. . . 4 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
3		eqid 2209	. . . 4 |- (Edg ` G ) = (Edg ` G )
4	2, 3	upgredg2vtx 15911	. . 3 |- ( ( G e. UPGraph /\ E e. (Edg ` G ) /\ Y e. E ) -> E. y e. (Vtx ` G ) E = { Y , y } )
5	1, 4	syl3an1 1285	. 2 |- ( ( G e. USPGraph /\ E e. (Edg ` G ) /\ Y e. E ) -> E. y e. (Vtx ` G ) E = { Y , y } )
6		eqtr2 2228	. . . . 5 |- ( ( E = { Y , y } /\ E = { Y , x } ) -> { Y , y } = { Y , x } )
7		vex 2782	. . . . . 6 |- y e. _V
8		vex 2782	. . . . . 6 |- x e. _V
9	7, 8	preqr2 3826	. . . . 5 |- ( { Y , y } = { Y , x } -> y = x )
10	6, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ( E = { Y , y } /\ E = { Y , x } ) -> y = x )
11	10	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( G e. USPGraph /\ E e. (Edg ` G ) /\ Y e. E ) /\ ( y e. (Vtx ` G ) /\ x e. (Vtx ` G ) ) ) -> ( ( E = { Y , y } /\ E = { Y , x } ) -> y = x ) )
12	11	ralrimivva 2592	. 2 |- ( ( G e. USPGraph /\ E e. (Edg ` G ) /\ Y e. E ) -> A. y e. (Vtx ` G ) A. x e. (Vtx ` G ) ( ( E = { Y , y } /\ E = { Y , x } ) -> y = x ) )
13		preq2 3724	. . . 4 |- ( y = x -> { Y , y } = { Y , x } )
14	13	eqeq2d 2221	. . 3 |- ( y = x -> ( E = { Y , y } <-> E = { Y , x } ) )
15	14	reu4 2977	. 2 |- ( E! y e. (Vtx ` G ) E = { Y , y } <-> ( E. y e. (Vtx ` G ) E = { Y , y } /\ A. y e. (Vtx ` G ) A. x e. (Vtx ` G ) ( ( E = { Y , y } /\ E = { Y , x } ) -> y = x ) ) )
16	5, 12, 15	sylanbrc 417	1 |- ( ( G e. USPGraph /\ E e. (Edg ` G ) /\ Y e. E ) -> E! y e. (Vtx ` G ) E = { Y , y } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 983   = wceq 1375   e. wcel 2180   A.wral 2488   E.wrex 2489   E!wreu 2490   {cpr 3647   ` cfv 5294  Vtxcvtx 15778  Edgcedg 15823  UPGraphcupgr 15856  USPGraphcuspgr 15916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-suc 4439  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-1o 6532  df-2o 6533  df-en 6858  df-sub 8287  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-dec 9547  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-edgf 15771  df-vtx 15780  df-iedg 15781  df-edg 15824  df-upgren 15858  df-uspgren 15918

This theorem is referenced by:  usgredg2vtxeu  15982  uspgredg2vlem  15983  uspgredg2v  15984