Theorem uspgredg2vtxeu 16024

Description: For a vertex incident to an edge there is exactly one other vertex incident to the edge in a simple pseudograph. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 6-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uspgredg2vtxeu	|- ( ( G e. USPGraph /\ E e. (Edg ` G ) /\ Y e. E ) -> E! y e. (Vtx ` G ) E = { Y , y } )

Distinct variable groups:   y, E   y, G   y, Y

Proof of Theorem uspgredg2vtxeu

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgrupgr 15987	. . 3 |- ( G e. USPGraph -> G e. UPGraph )
2		eqid 2229	. . . 4 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
3		eqid 2229	. . . 4 |- (Edg ` G ) = (Edg ` G )
4	2, 3	upgredg2vtx 15954	. . 3 |- ( ( G e. UPGraph /\ E e. (Edg ` G ) /\ Y e. E ) -> E. y e. (Vtx ` G ) E = { Y , y } )
5	1, 4	syl3an1 1304	. 2 |- ( ( G e. USPGraph /\ E e. (Edg ` G ) /\ Y e. E ) -> E. y e. (Vtx ` G ) E = { Y , y } )
6		eqtr2 2248	. . . . 5 |- ( ( E = { Y , y } /\ E = { Y , x } ) -> { Y , y } = { Y , x } )
7		vex 2802	. . . . . 6 |- y e. _V
8		vex 2802	. . . . . 6 |- x e. _V
9	7, 8	preqr2 3847	. . . . 5 |- ( { Y , y } = { Y , x } -> y = x )
10	6, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ( E = { Y , y } /\ E = { Y , x } ) -> y = x )
11	10	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( G e. USPGraph /\ E e. (Edg ` G ) /\ Y e. E ) /\ ( y e. (Vtx ` G ) /\ x e. (Vtx ` G ) ) ) -> ( ( E = { Y , y } /\ E = { Y , x } ) -> y = x ) )
12	11	ralrimivva 2612	. 2 |- ( ( G e. USPGraph /\ E e. (Edg ` G ) /\ Y e. E ) -> A. y e. (Vtx ` G ) A. x e. (Vtx ` G ) ( ( E = { Y , y } /\ E = { Y , x } ) -> y = x ) )
13		preq2 3744	. . . 4 |- ( y = x -> { Y , y } = { Y , x } )
14	13	eqeq2d 2241	. . 3 |- ( y = x -> ( E = { Y , y } <-> E = { Y , x } ) )
15	14	reu4 2997	. 2 |- ( E! y e. (Vtx ` G ) E = { Y , y } <-> ( E. y e. (Vtx ` G ) E = { Y , y } /\ A. y e. (Vtx ` G ) A. x e. (Vtx ` G ) ( ( E = { Y , y } /\ E = { Y , x } ) -> y = x ) ) )
16	5, 12, 15	sylanbrc 417	1 |- ( ( G e. USPGraph /\ E e. (Edg ` G ) /\ Y e. E ) -> E! y e. (Vtx ` G ) E = { Y , y } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   E!wreu 2510   {cpr 3667   ` cfv 5318  Vtxcvtx 15821  Edgcedg 15866  UPGraphcupgr 15899  USPGraphcuspgr 15959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-1o 6568  df-2o 6569  df-en 6896  df-sub 8327  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-dec 9587  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-edgf 15814  df-vtx 15823  df-iedg 15824  df-edg 15867  df-upgren 15901  df-uspgren 15961

This theorem is referenced by:  usgredg2vtxeu  16025  uspgredg2vlem  16026  uspgredg2v  16027