Theorem uspgredg2vlem 16344

Description: Lemma for uspgredg2v 16345. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 6-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgredg2v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uspgredg2v.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
uspgredg2v.a	⊢ 𝐴 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
uspgredg2vlem	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (℩𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧}) ∈ 𝑉)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑧,𝐺   𝑒,𝑁   𝑧,𝑁   𝑧,𝑉   𝑒,𝑌   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑒)   𝐸(𝑧)   𝐺(𝑒)   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem uspgredg2vlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2298	. . 3 ⊢ (𝑒 = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑒 ↔ 𝑁 ∈ 𝑌))
2		uspgredg2v.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}
3	1, 2	elrab2 2979	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 ↔ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌))
4		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌)) → 𝐺 ∈ USPGraph)
5		uspgredg2v.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	5	eleq2i 2301	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐸 ↔ 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺))
7	6	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐸 → 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺))
8	7	ad2antrl 490	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺))
9		simprr 533	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌)) → 𝑁 ∈ 𝑌)
10	4, 8, 9	3jca 1204	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌)) → (𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ 𝑌))
11		uspgredg2vtxeu 16342	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ 𝑌) → ∃!𝑧 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑌 = {𝑁, 𝑧})
12		uspgredg2v.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
13		reueq1 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = (Vtx‘𝐺) → (∃!𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧} ↔ ∃!𝑧 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑌 = {𝑁, 𝑧}))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∃!𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧} ↔ ∃!𝑧 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑌 = {𝑁, 𝑧})
15	11, 14	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ 𝑌) → ∃!𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧})
16		riotacl 6027	. . 3 ⊢ (∃!𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧} → (℩𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧}) ∈ 𝑉)
17	10, 15, 16	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌)) → (℩𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧}) ∈ 𝑉)
18	3, 17	sylan2b 287	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (℩𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧}) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃!wreu 2524  {crab 2526  {cpr 3695  ‘cfv 5357  ℩crio 6010  Vtxcvtx 16136  Edgcedg 16181  USPGraphcuspgr 16277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-2o 6661  df-en 6989  df-sub 8463  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-dec 9731  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-edgf 16129  df-vtx 16138  df-iedg 16139  df-edg 16182  df-upgren 16217  df-uspgren 16279

This theorem is referenced by:  uspgredg2v  16345