Theorem uspgredg2vlem 16202

Description: Lemma for uspgredg2v 16203. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 6-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgredg2v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uspgredg2v.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
uspgredg2v.a	⊢ 𝐴 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
uspgredg2vlem	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (℩𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧}) ∈ 𝑉)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑧,𝐺   𝑒,𝑁   𝑧,𝑁   𝑧,𝑉   𝑒,𝑌   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑒)   𝐸(𝑧)   𝐺(𝑒)   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem uspgredg2vlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2296	. . 3 ⊢ (𝑒 = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑒 ↔ 𝑁 ∈ 𝑌))
2		uspgredg2v.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}
3	1, 2	elrab2 2975	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 ↔ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌))
4		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌)) → 𝐺 ∈ USPGraph)
5		uspgredg2v.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	5	eleq2i 2299	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐸 ↔ 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺))
7	6	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐸 → 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺))
8	7	ad2antrl 490	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺))
9		simprr 533	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌)) → 𝑁 ∈ 𝑌)
10	4, 8, 9	3jca 1204	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌)) → (𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ 𝑌))
11		uspgredg2vtxeu 16200	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ 𝑌) → ∃!𝑧 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑌 = {𝑁, 𝑧})
12		uspgredg2v.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
13		reueq1 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = (Vtx‘𝐺) → (∃!𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧} ↔ ∃!𝑧 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑌 = {𝑁, 𝑧}))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∃!𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧} ↔ ∃!𝑧 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑌 = {𝑁, 𝑧})
15	11, 14	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ 𝑌) → ∃!𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧})
16		riotacl 6018	. . 3 ⊢ (∃!𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧} → (℩𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧}) ∈ 𝑉)
17	10, 15, 16	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑌)) → (℩𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧}) ∈ 𝑉)
18	3, 17	sylan2b 287	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (℩𝑧 ∈ 𝑉 𝑌 = {𝑁, 𝑧}) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∃!wreu 2522  {crab 2524  {cpr 3689  ‘cfv 5351  ℩crio 6001  Vtxcvtx 15994  Edgcedg 16039  USPGraphcuspgr 16135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-1o 6646  df-2o 6647  df-en 6975  df-sub 8442  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-dec 9706  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-edgf 15987  df-vtx 15996  df-iedg 15997  df-edg 16040  df-upgren 16075  df-uspgren 16137

This theorem is referenced by:  uspgredg2v  16203