ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzp1 Unicode version

Theorem uzp1 9513
Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
uzp1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =  M  \/  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )

Proof of Theorem uzp1
StepHypRef Expression
1 uzm1 9510 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =  M  \/  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) ) )
2 eluzp1p1 9505 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
3 eluzelcn 9491 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  CC )
4 ax-1cn 7860 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
5 npcan 8121 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
63, 4, 5sylancl 411 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
76eleq1d 2239 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )
82, 7syl5ib 153 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
98orim2d 783 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  =  M  \/  ( N  -  1
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( N  =  M  \/  N  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
101, 9mpd 13 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =  M  \/  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 703    = wceq 1348    e. wcel 2141   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   CCcc 7765   1c1 7768    + caddc 7770    - cmin 8083   ZZ>=cuz 9480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-ltadd 7883
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481
This theorem is referenced by:  fzsuc2  10028  fldiv4p1lem1div2  10254  seq3id  10457  seq3z  10460  hashfzp1  10752  telfsumo  11422  fsumparts  11426  isumsplit  11447
  Copyright terms: Public domain W3C validator