ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzp1 GIF version

Theorem uzp1 9472
Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
uzp1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))

Proof of Theorem uzp1
StepHypRef Expression
1 uzm1 9469 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
2 eluzp1p1 9464 . . . 4 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
3 eluzelcn 9450 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
4 ax-1cn 7825 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
5 npcan 8084 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
63, 4, 5sylancl 410 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
76eleq1d 2226 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
82, 7syl5ib 153 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
98orim2d 778 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
101, 9mpd 13 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wo 698   = wceq 1335  wcel 2128  cfv 5170  (class class class)co 5824  cc 7730  1c1 7733   + caddc 7735  cmin 8046  cuz 9439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-ltadd 7848
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440
This theorem is referenced by:  fzsuc2  9981  fldiv4p1lem1div2  10204  seq3id  10407  seq3z  10410  hashfzp1  10698  telfsumo  11363  fsumparts  11367  isumsplit  11388
  Copyright terms: Public domain W3C validator