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Theorem uzsubsubfz 9524
Description: Membership of an integer greater than L decreased by ( L - M ) in an M based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
uzsubsubfz ((𝐿 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐿)) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem uzsubsubfz
StepHypRef Expression
1 eluz2 9088 . . 3 (𝐿 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿))
2 eluz2 9088 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁))
3 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
54adantr 271 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 zsubcl 8854 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
76adantlr 462 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
85, 7zsubcld 8936 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ)
93, 5, 83jca 1124 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ))
109ex 114 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ)))
11103adant3 964 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ)))
1211com12 30 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ)))
1312adantr 271 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ)))
1413imp 123 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ))
15 zre 8817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
1615adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
1716adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿)) → 𝑁 ∈ ℝ)
18 zre 8817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
1918adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
2019adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
2117, 20subge0d 8075 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿)) → (0 ≤ (𝑁𝐿) ↔ 𝐿𝑁))
2221exbiri 375 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → (𝐿𝑁 → 0 ≤ (𝑁𝐿))))
2322com23 78 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → 0 ≤ (𝑁𝐿))))
24233impia 1141 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → 0 ≤ (𝑁𝐿)))
2524impcom 124 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 0 ≤ (𝑁𝐿))
26 zre 8817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2726adantr 271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → 𝑀 ∈ ℝ)
2827adantr 271 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
29 resubcl 7809 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁𝐿) ∈ ℝ)
3015, 18, 29syl2anr 285 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℝ)
31303adant3 964 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑁𝐿) ∈ ℝ)
3231adantl 272 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (𝑁𝐿) ∈ ℝ)
3328, 32addge02d 8074 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (0 ≤ (𝑁𝐿) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁𝐿) + 𝑀)))
3425, 33mpbid 146 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 𝑀 ≤ ((𝑁𝐿) + 𝑀))
35 zcn 8818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
36353ad2ant2 966 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
3736adantl 272 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
38 zcn 8818 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
39383ad2ant1 965 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → 𝐿 ∈ ℂ)
4039adantl 272 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 𝐿 ∈ ℂ)
41 zcn 8818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
4241adantr 271 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → 𝑀 ∈ ℂ)
4342adantr 271 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
4437, 40, 43subsubd 7884 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) = ((𝑁𝐿) + 𝑀))
4534, 44breqtrrd 3879 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿𝑀)))
46183ad2ant1 965 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → 𝐿 ∈ ℝ)
47 subge0 8016 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐿𝑀) ↔ 𝑀𝐿))
4846, 26, 47syl2anr 285 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (0 ≤ (𝐿𝑀) ↔ 𝑀𝐿))
4948exbiri 375 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑀𝐿 → 0 ≤ (𝐿𝑀))))
5049com23 78 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀𝐿 → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → 0 ≤ (𝐿𝑀))))
5150imp31 253 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 0 ≤ (𝐿𝑀))
52153ad2ant2 966 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
5352adantl 272 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
54 resubcl 7809 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿𝑀) ∈ ℝ)
5546, 27, 54syl2anr 285 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (𝐿𝑀) ∈ ℝ)
5653, 55subge02d 8077 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (0 ≤ (𝐿𝑀) ↔ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ≤ 𝑁))
5751, 56mpbid 146 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ≤ 𝑁)
5845, 57jca 301 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ≤ 𝑁))
59 elfz2 9494 . . . . . . 7 ((𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ≤ 𝑁)))
6014, 58, 59sylanbrc 409 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))
6160ex 114 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
62613adant2 963 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
632, 62syl5bi 151 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
641, 63sylbi 120 . 2 (𝐿 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
6564imp 123 1 ((𝐿 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐿)) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 925  wcel 1439   class class class wbr 3853  cfv 5030  (class class class)co 5668  cc 7411  cr 7412  0cc0 7413   + caddc 7416  cle 7586  cmin 7716  cz 8813  cuz 9082  ...cfz 9487
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-addass 7510  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-ltadd 7524
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-fz 9488
This theorem is referenced by:  uzsubsubfz1  9525
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