Theorem xleadd1 10171

Description: Weakened version of xleadd1a 10169 under which the reverse implication is true. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xleadd1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Proof of Theorem xleadd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8284	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		xleadd1a 10169	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
3	2	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶)))
4	1, 3	syl3an3 1309	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶)))
5		simp1 1024	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6	1	3ad2ant3 1047	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		xaddcl 10156	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
9		simp2 1025	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10		xaddcl 10156	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
11	9, 6, 10	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
12		xnegcl 10128	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* → -𝑒𝐶 ∈ ℝ*)
13	6, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝑒𝐶 ∈ ℝ*)
14		xleadd1a 10169	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶)) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) ≤ ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶))
15	14	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) ≤ ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶)))
16	8, 11, 13, 15	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) ≤ ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶)))
17		xpncan 10167	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) = 𝐴)
18	17	3adant2 1043	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) = 𝐴)
19		xpncan 10167	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) = 𝐵)
20	19	3adant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) = 𝐵)
21	18, 20	breq12d 4106	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) ≤ ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
22	16, 21	sylibd 149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐵))
23	4, 22	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  ℝcr 8091  ℝ^*cxr 8272   ≤ cle 8274  -_𝑒cxne 10065   +_𝑒 cxad 10066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-xneg 10068  df-xadd 10069

This theorem is referenced by:  xsubge0  10177  xlesubadd  10179