Theorem xleadd1 10227

Description: Weakened version of xleadd1a 10225 under which the reverse implication is true. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xleadd1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Proof of Theorem xleadd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8335	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		xleadd1a 10225	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
3	2	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶)))
4	1, 3	syl3an3 1309	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶)))
5		simp1 1024	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6	1	3ad2ant3 1047	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		xaddcl 10212	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
9		simp2 1025	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10		xaddcl 10212	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
11	9, 6, 10	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
12		xnegcl 10184	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* → -𝑒𝐶 ∈ ℝ*)
13	6, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝑒𝐶 ∈ ℝ*)
14		xleadd1a 10225	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶)) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) ≤ ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶))
15	14	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) ≤ ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶)))
16	8, 11, 13, 15	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) ≤ ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶)))
17		xpncan 10223	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) = 𝐴)
18	17	3adant2 1043	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) = 𝐴)
19		xpncan 10223	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) = 𝐵)
20	19	3adant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) = 𝐵)
21	18, 20	breq12d 4127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) ≤ ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
22	16, 21	sylibd 149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐵))
23	4, 22	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℝcr 8142  ℝ^*cxr 8323   ≤ cle 8325  -_𝑒cxne 10121   +_𝑒 cxad 10122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-xneg 10124  df-xadd 10125

This theorem is referenced by:  xsubge0  10233  xlesubadd  10235