Theorem xleadd1 9944

Description: Weakened version of xleadd1a 9942 under which the reverse implication is true. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xleadd1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Proof of Theorem xleadd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8067	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		xleadd1a 9942	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
3	2	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶)))
4	1, 3	syl3an3 1284	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶)))
5		simp1 999	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6	1	3ad2ant3 1022	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		xaddcl 9929	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
9		simp2 1000	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10		xaddcl 9929	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
11	9, 6, 10	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
12		xnegcl 9901	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* → -𝑒𝐶 ∈ ℝ*)
13	6, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝑒𝐶 ∈ ℝ*)
14		xleadd1a 9942	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶)) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) ≤ ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶))
15	14	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) ≤ ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶)))
16	8, 11, 13, 15	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) ≤ ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶)))
17		xpncan 9940	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) = 𝐴)
18	17	3adant2 1018	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) = 𝐴)
19		xpncan 9940	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) = 𝐵)
20	19	3adant1 1017	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) = 𝐵)
21	18, 20	breq12d 4043	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) ≤ ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
22	16, 21	sylibd 149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐵))
23	4, 22	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℝcr 7873  ℝ^*cxr 8055   ≤ cle 8057  -_𝑒cxne 9838   +_𝑒 cxad 9839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-xneg 9841  df-xadd 9842

This theorem is referenced by:  xsubge0  9950  xlesubadd  9952