ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmetf GIF version

Theorem xmetf 13990
Description: Mapping of the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetf (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)

Proof of Theorem xmetf
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑒 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptrel 4757 . . . . . 6 Rel (𝑒 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑒 × 𝑒)) ∣ ∀𝑥𝑒𝑦𝑒 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑒 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))})
2 df-xmet 13588 . . . . . . 7 ∞Met = (𝑒 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑒 × 𝑒)) ∣ ∀𝑥𝑒𝑦𝑒 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑒 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))})
32releqi 4711 . . . . . 6 (Rel ∞Met ↔ Rel (𝑒 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑒 × 𝑒)) ∣ ∀𝑥𝑒𝑦𝑒 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑒 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))}))
41, 3mpbir 146 . . . . 5 Rel ∞Met
5 relelfvdm 5549 . . . . 5 ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
64, 5mpan 424 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
7 isxmet 13985 . . . 4 (𝑋 ∈ dom ∞Met → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
86, 7syl 14 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
98ibi 176 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
109simpld 112 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  {crab 2459  Vcvv 2739   class class class wbr 4005  cmpt 4066   × cxp 4626  dom cdm 4628  Rel wrel 4633  wf 5214  cfv 5218  (class class class)co 5878  𝑚 cmap 6651  0cc0 7814  *cxr 7994  cle 7996   +𝑒 cxad 9773  ∞Metcxmet 13580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-map 6653  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-xmet 13588
This theorem is referenced by:  xmetcl  13992  xmetdmdm  13996  xmetpsmet  14009  xmettpos  14010  xmetres2  14019  xmetres  14022  xmeterval  14075  xmeter  14076  xmetresbl  14080  comet  14139  bdxmet  14141  bdbl  14143  txmetcnp  14158
  Copyright terms: Public domain W3C validator