Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmetf GIF version

Theorem xmetf 12559
 Description: Mapping of the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetf (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)

Proof of Theorem xmetf
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑒 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptrel 4675 . . . . . 6 Rel (𝑒 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑒 × 𝑒)) ∣ ∀𝑥𝑒𝑦𝑒 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑒 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))})
2 df-xmet 12197 . . . . . . 7 ∞Met = (𝑒 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑒 × 𝑒)) ∣ ∀𝑥𝑒𝑦𝑒 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑒 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))})
32releqi 4630 . . . . . 6 (Rel ∞Met ↔ Rel (𝑒 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑒 × 𝑒)) ∣ ∀𝑥𝑒𝑦𝑒 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑒 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))}))
41, 3mpbir 145 . . . . 5 Rel ∞Met
5 relelfvdm 5461 . . . . 5 ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
64, 5mpan 421 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
7 isxmet 12554 . . . 4 (𝑋 ∈ dom ∞Met → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
86, 7syl 14 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
98ibi 175 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
109simpld 111 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  {crab 2421  Vcvv 2689   class class class wbr 3937   ↦ cmpt 3997   × cxp 4545  dom cdm 4547  Rel wrel 4552  ⟶wf 5127  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782   ↑𝑚 cmap 6550  0cc0 7645  ℝ*cxr 7824   ≤ cle 7826   +𝑒 cxad 9588  ∞Metcxmet 12189 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7736  ax-resscn 7737 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-map 6552  df-pnf 7827  df-mnf 7828  df-xr 7829  df-xmet 12197 This theorem is referenced by:  xmetcl  12561  xmetdmdm  12565  xmetpsmet  12578  xmettpos  12579  xmetres2  12588  xmetres  12591  xmeterval  12644  xmeter  12645  xmetresbl  12649  comet  12708  bdxmet  12710  bdbl  12712  txmetcnp  12727
 Copyright terms: Public domain W3C validator