ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xnpcan Unicode version

Theorem xnpcan 9818
Description: Extended real version of npcan 8117. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnpcan  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A +e  -e B ) +e B )  =  A )

Proof of Theorem xnpcan
StepHypRef Expression
1 rexr 7954 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
2 xnegneg 9779 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR*  ->  -e  -e B  =  B )
31, 2syl 14 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  -e  -e B  =  B )
43adantl 275 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  -e  -e B  =  B )
54oveq2d 5867 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A +e  -e B ) +e  -e  -e B )  =  ( ( A +e  -e B ) +e B ) )
6 rexneg 9776 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  -e
B  =  -u B
)
7 renegcl 8169 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
86, 7eqeltrd 2247 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  -e
B  e.  RR )
9 xpncan 9817 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  -e
B  e.  RR )  ->  ( ( A +e  -e
B ) +e  -e  -e B )  =  A )
108, 9sylan2 284 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A +e  -e B ) +e  -e  -e B )  =  A )
115, 10eqtr3d 2205 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A +e  -e B ) +e B )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141  (class class class)co 5851   RRcr 7762   RR*cxr 7942   -ucneg 8080    -ecxne 9715   +ecxad 9716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-addcom 7863  ax-addass 7865  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-cnre 7874
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-sub 8081  df-neg 8082  df-xneg 9718  df-xadd 9719
This theorem is referenced by:  xsubge0  9827  xlesubadd  9829  xrmaxaddlem  11212  xblss2ps  13159  xblss2  13160
  Copyright terms: Public domain W3C validator