Theorem xnpcan 9818

Description: Extended real version of npcan 8117. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnpcan	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e B ) = A )

Proof of Theorem xnpcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 7954	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
2		xnegneg 9779	. . . . 5 |- ( B e. RR* -> -e -e B = B )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( B e. RR -> -e -e B = B )
4	3	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> -e -e B = B )
5	4	oveq2d 5867	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e -e -e B ) = ( ( A +e -e B ) +e B ) )
6		rexneg 9776	. . . 4 |- ( B e. RR -> -e B = -u B )
7		renegcl 8169	. . . 4 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
8	6, 7	eqeltrd 2247	. . 3 |- ( B e. RR -> -e B e. RR )
9		xpncan 9817	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ -e B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e -e -e B ) = A )
10	8, 9	sylan2 284	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e -e -e B ) = A )
11	5, 10	eqtr3d 2205	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141  (class class class)co 5851   RRcr 7762   RR*cxr 7942   -ucneg 8080   -ecxne 9715   +ecxad 9716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-addcom 7863  ax-addass 7865  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-cnre 7874

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-sub 8081  df-neg 8082  df-xneg 9718  df-xadd 9719

This theorem is referenced by:  xsubge0  9827  xlesubadd  9829  xrmaxaddlem  11212  xblss2ps  13159  xblss2  13160