Theorem xnpcan 10256

Description: Extended real version of npcan 8528. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnpcan	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e B ) = A )

Proof of Theorem xnpcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8364	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
2		xnegneg 10217	. . . . 5 |- ( B e. RR* -> -e -e B = B )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( B e. RR -> -e -e B = B )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> -e -e B = B )
5	4	oveq2d 6094	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e -e -e B ) = ( ( A +e -e B ) +e B ) )
6		rexneg 10214	. . . 4 |- ( B e. RR -> -e B = -u B )
7		renegcl 8580	. . . 4 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
8	6, 7	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( B e. RR -> -e B e. RR )
9		xpncan 10255	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ -e B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e -e -e B ) = A )
10	8, 9	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e -e -e B ) = A )
11	5, 10	eqtr3d 2273	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6078   RRcr 8171   RR*cxr 8352   -ucneg 8491   -ecxne 10153   +ecxad 10154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-sub 8492  df-neg 8493  df-xneg 10156  df-xadd 10157

This theorem is referenced by:  xsubge0  10265  xlesubadd  10267  xrmaxaddlem  12007  xblss2ps  15431  xblss2  15432