Theorem xnpcan 10029

Description: Extended real version of npcan 8316. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnpcan	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e B ) = A )

Proof of Theorem xnpcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8153	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
2		xnegneg 9990	. . . . 5 |- ( B e. RR* -> -e -e B = B )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( B e. RR -> -e -e B = B )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> -e -e B = B )
5	4	oveq2d 5983	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e -e -e B ) = ( ( A +e -e B ) +e B ) )
6		rexneg 9987	. . . 4 |- ( B e. RR -> -e B = -u B )
7		renegcl 8368	. . . 4 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
8	6, 7	eqeltrd 2284	. . 3 |- ( B e. RR -> -e B e. RR )
9		xpncan 10028	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ -e B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e -e -e B ) = A )
10	8, 9	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e -e -e B ) = A )
11	5, 10	eqtr3d 2242	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178  (class class class)co 5967   RRcr 7959   RR*cxr 8141   -ucneg 8279   -ecxne 9926   +ecxad 9927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-sub 8280  df-neg 8281  df-xneg 9929  df-xadd 9930

This theorem is referenced by:  xsubge0  10038  xlesubadd  10040  xrmaxaddlem  11686  xblss2ps  14991  xblss2  14992