Theorem xnpcan 10110

Description: Extended real version of npcan 8391. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnpcan	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e B ) = A )

Proof of Theorem xnpcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8228	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
2		xnegneg 10071	. . . . 5 |- ( B e. RR* -> -e -e B = B )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( B e. RR -> -e -e B = B )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> -e -e B = B )
5	4	oveq2d 6037	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e -e -e B ) = ( ( A +e -e B ) +e B ) )
6		rexneg 10068	. . . 4 |- ( B e. RR -> -e B = -u B )
7		renegcl 8443	. . . 4 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
8	6, 7	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( B e. RR -> -e B e. RR )
9		xpncan 10109	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ -e B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e -e -e B ) = A )
10	8, 9	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e -e -e B ) = A )
11	5, 10	eqtr3d 2266	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202  (class class class)co 6021   RRcr 8034   RR*cxr 8216   -ucneg 8354   -ecxne 10007   +ecxad 10008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-addass 8137  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-sub 8355  df-neg 8356  df-xneg 10010  df-xadd 10011

This theorem is referenced by:  xsubge0  10119  xlesubadd  10121  xrmaxaddlem  11841  xblss2ps  15155  xblss2  15156