Theorem ztri3or0 9697

Description: Integer trichotomy (with zero). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ztri3or0	|- ( N e. ZZ -> ( N < 0 \/ N = 0 \/ 0 < N ) )

Proof of Theorem ztri3or0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9657	. . . 4 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
2	1	simprbi 275	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
3		idd 21	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N = 0 -> N = 0 ) )
4		nngt0 9338	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 < N )
5	4	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N e. NN -> 0 < N ) )
6		nngt0 9338	. . . . 5 |- ( -u N e. NN -> 0 < -u N )
7		zre 9659	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
8	7	lt0neg1d 8850	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N < 0 <-> 0 < -u N ) )
9	6, 8	imbitrrid 156	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( -u N e. NN -> N < 0 ) )
10	3, 5, 9	3orim123d 1361	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) -> ( N = 0 \/ 0 < N \/ N < 0 ) ) )
11	2, 10	mpd 13	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( N = 0 \/ 0 < N \/ N < 0 ) )
12		3orrot 1015	. 2 |- ( ( N < 0 \/ N = 0 \/ 0 < N ) <-> ( N = 0 \/ 0 < N \/ N < 0 ) )
13	11, 12	sylibr 134	1 |- ( N e. ZZ -> ( N < 0 \/ N = 0 \/ 0 < N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   RRcr 8184   0cc0 8185   < clt 8366   -ucneg 8505   NNcn 9313   ZZcz 9655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-z 9656

This theorem is used by:  ztri3or  9698  zdvdsdc  12604  divalglemex  12714  divalg  12716  bezoutlemmain  12800  mulgval  13984  mulgfng  13986  subgmulg  14050