Theorem ztri3or0 9120

Description: Integer trichotomy (with zero). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ztri3or0	|- ( N e. ZZ -> ( N < 0 \/ N = 0 \/ 0 < N ) )

Proof of Theorem ztri3or0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9080	. . . 4 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
2	1	simprbi 273	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
3		idd 21	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N = 0 -> N = 0 ) )
4		nngt0 8769	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 < N )
5	4	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N e. NN -> 0 < N ) )
6		nngt0 8769	. . . . 5 |- ( -u N e. NN -> 0 < -u N )
7		zre 9082	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
8	7	lt0neg1d 8301	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N < 0 <-> 0 < -u N ) )
9	6, 8	syl5ibr 155	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( -u N e. NN -> N < 0 ) )
10	3, 5, 9	3orim123d 1299	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) -> ( N = 0 \/ 0 < N \/ N < 0 ) ) )
11	2, 10	mpd 13	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( N = 0 \/ 0 < N \/ N < 0 ) )
12		3orrot 969	. 2 |- ( ( N < 0 \/ N = 0 \/ 0 < N ) <-> ( N = 0 \/ 0 < N \/ N < 0 ) )
13	11, 12	sylibr 133	1 |- ( N e. ZZ -> ( N < 0 \/ N = 0 \/ 0 < N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ w3o 962   = wceq 1332   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   RRcr 7643   0cc0 7644   < clt 7824   -ucneg 7958   NNcn 8744   ZZcz 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-z 9079

This theorem is referenced by:  ztri3or  9121  zdvdsdc  11550  divalglemex  11655  divalg  11657  bezoutlemmain  11722