ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmunb GIF version

Theorem prmunb 12360
Description: The primes are unbounded. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
prmunb (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝)
Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmunb
StepHypRef Expression
1 nnnn0 9183 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 faccl 10715 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3 elnnuz 9564 . . . . 5 ((!‘𝑁) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑁) ∈ (ℤ‘1))
4 eluzp1p1 9553 . . . . . 6 ((!‘𝑁) ∈ (ℤ‘1) → ((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
5 df-2 8978 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
65fveq2i 5519 . . . . . 6 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
74, 6eleqtrrdi 2271 . . . . 5 ((!‘𝑁) ∈ (ℤ‘1) → ((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ‘2))
83, 7sylbi 121 . . . 4 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → ((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ‘2))
9 exprmfct 12138 . . . 4 (((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
102, 8, 93syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
11 prmz 12111 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
12 nn0z 9273 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
13 eluz 9541 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑝) ↔ 𝑝𝑁))
1411, 12, 13syl2an 289 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑝) ↔ 𝑝𝑁))
15 prmuz2 12131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
16 eluz2b2 9603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
1715, 16sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
1817adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
1918simpld 112 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ)
2019nnnn0d 9229 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ0)
21 eluznn0 9599 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2220, 21sylancom 420 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23 nnz 9272 . . . . . . . . . . . 12 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
2422, 2, 233syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
2518simprd 114 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → 1 < 𝑝)
26 dvdsfac 11866 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁))
2719, 26sylancom 420 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁))
28 ndvdsp1 11937 . . . . . . . . . . . 12 (((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
2928imp 124 . . . . . . . . . . 11 ((((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝) ∧ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
3024, 19, 25, 27, 29syl31anc 1241 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
3130ex 115 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑝) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
3231adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑝) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
3314, 32sylbird 170 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑝𝑁 → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
3433con2d 624 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → ¬ 𝑝𝑁))
3534ancoms 268 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → ¬ 𝑝𝑁))
36 zltnle 9299 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝𝑁))
3712, 11, 36syl2an 289 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝𝑁))
3835, 37sylibrd 169 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → 𝑁 < 𝑝))
3938reximdva 2579 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝))
4010, 39mpd 13 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝)
411, 40syl 14 1 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978  wcel 2148  wrex 2456   class class class wbr 4004  cfv 5217  (class class class)co 5875  1c1 7812   + caddc 7814   < clt 7992  cle 7993  cn 8919  2c2 8970  0cn0 9176  cz 9253  cuz 9528  !cfa 10705  cdvds 11794  cprime 12107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-1o 6417  df-2o 6418  df-er 6535  df-en 6741  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-prm 12108
This theorem is referenced by:  prminf  12456
  Copyright terms: Public domain W3C validator