Theorem prmunb 12934

Description: The primes are unbounded. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
prmunb	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝)

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmunb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9408	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 10996	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3		elnnuz 9792	. . . . 5 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘1))
4		eluzp1p1 9781	. . . . . 6 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘1) → ((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
5		df-2 9201	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
6	5	fveq2i 5642	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
7	4, 6	eleqtrrdi 2325	. . . . 5 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘1) → ((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
8	3, 7	sylbi 121	. . . 4 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → ((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
9		exprmfct 12709	. . . 4 ⊢ (((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
10	2, 8, 9	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
11		prmz 12682	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
12		nn0z 9498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
13		eluz 9768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ 𝑝 ≤ 𝑁))
14	11, 12, 13	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ 𝑝 ≤ 𝑁))
15		prmuz2 12702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
16		eluz2b2 9836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
17	15, 16	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
18	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
19	18	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ)
20	19	nnnn0d 9454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ0)
21		eluznn0 9832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22	20, 21	sylancom 420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23		nnz 9497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
24	22, 2, 23	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
25	18	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 1 < 𝑝)
26		dvdsfac 12420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁))
27	19, 26	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁))
28		ndvdsp1 12492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
29	28	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝) ∧ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
30	24, 19, 25, 27, 29	syl31anc 1276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
31	30	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
33	14, 32	sylbird 170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑝 ≤ 𝑁 → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
34	33	con2d 629	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑁))
35	34	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑁))
36		zltnle 9524	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁))
37	12, 11, 36	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁))
38	35, 37	sylibrd 169	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → 𝑁 < 𝑝))
39	38	reximdva 2634	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝))
40	10, 39	mpd 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝)
41	1, 40	syl 14	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  1c1 8032   + caddc 8034   < clt 8213   ≤ cle 8214  ℕcn 9142  2c2 9193  ℕ₀cn0 9401  ℤcz 9478  ℤ_≥cuz 9754  !cfa 10986   ∥ cdvds 12347  ℙcprime 12678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-en 6909  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-fl 10529  df-mod 10584  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-fac 10987  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-dvds 12348  df-prm 12679

This theorem is referenced by:  prminf  13075