Theorem mptex 5946

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 22-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptex.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mptex	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mptex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mptexg 5945	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ↦ cmpt 4193

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388

This theorem is used by:  mptrabex  5949  eufnfv  5952  abrexex  6350  ofmres  6373  difinfsn  7447  ctmlemr  7455  ctssdclemn0  7457  ctssdc  7460  enumct  7462  frec2uzrand  10864  frec2uzf1od  10865  frecfzennn  10885  uzennn  10895  0tonninf  10899  1tonninf  10900  hashinfom  11240  absval  11790  climle  12126  climcvg1nlem  12141  iserabs  12268  isumshft  12283  divcnv  12290  trireciplem  12293  expcnvap0  12295  expcnvre  12296  expcnv  12297  explecnv  12298  geolim  12304  geo2lim  12309  mertenslem2  12329  eftlub  12483  nninfctlemfo  12843  nninfct  12844  1arithlem1  13172  1arith  13176  ballotfilemfval  13288  ballotfilemsval  13311  ballotfilemrval  13320  ballotfilem7  13338  ctiunct  13390  restfn  13657  cndsex  15000  metuex  15002  zrhval2  15064  ivthreinc  15883  elply  15972  depindlem1  16964  peano4nninf  17267  peano3nninf  17268  nninfsellemeq  17275  nninfsellemeqinf  17277  dceqnconst  17329  dcapnconst  17330