Theorem mptex 5791

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 22-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptex.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mptex	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mptex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mptexg 5790	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ↦ cmpt 4095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  mptrabex  5793  eufnfv  5796  abrexex  6183  ofmres  6202  difinfsn  7175  ctmlemr  7183  ctssdclemn0  7185  ctssdc  7188  enumct  7190  frec2uzrand  10516  frec2uzf1od  10517  frecfzennn  10537  uzennn  10547  0tonninf  10551  1tonninf  10552  hashinfom  10889  absval  11185  climle  11518  climcvg1nlem  11533  iserabs  11659  isumshft  11674  divcnv  11681  trireciplem  11684  expcnvap0  11686  expcnvre  11687  expcnv  11688  explecnv  11689  geolim  11695  geo2lim  11700  mertenslem2  11720  eftlub  11874  nninfctlemfo  12234  nninfct  12235  1arithlem1  12559  1arith  12563  ctiunct  12684  restfn  12947  cndsex  14187  metuex  14189  zrhval2  14253  ivthreinc  14989  elply  15078  peano4nninf  15761  peano3nninf  15762  nninfsellemeq  15769  nninfsellemeqinf  15771  dceqnconst  15817  dcapnconst  15818