Theorem mptex 5943

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 22-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptex.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mptex	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mptex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mptexg 5942	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ↦ cmpt 4192

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385

This theorem is used by:  mptrabex  5946  eufnfv  5949  abrexex  6346  ofmres  6369  difinfsn  7441  ctmlemr  7449  ctssdclemn0  7451  ctssdc  7454  enumct  7456  frec2uzrand  10856  frec2uzf1od  10857  frecfzennn  10877  uzennn  10887  0tonninf  10891  1tonninf  10892  hashinfom  11232  absval  11782  climle  12118  climcvg1nlem  12133  iserabs  12260  isumshft  12275  divcnv  12282  trireciplem  12285  expcnvap0  12287  expcnvre  12288  expcnv  12289  explecnv  12290  geolim  12296  geo2lim  12301  mertenslem2  12321  eftlub  12475  nninfctlemfo  12835  nninfct  12836  1arithlem1  13164  1arith  13168  ballotfilemfval  13280  ballotfilemsval  13303  ballotfilemrval  13312  ballotfilem7  13330  ctiunct  13382  restfn  13648  cndsex  14941  metuex  14943  zrhval2  15005  ivthreinc  15798  elply  15887  depindlem1  16869  peano4nninf  17171  peano3nninf  17172  nninfsellemeq  17179  nninfsellemeqinf  17181  dceqnconst  17232  dcapnconst  17233