Theorem mptex 5869

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 22-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptex.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mptex	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mptex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mptexg 5868	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ↦ cmpt 4145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326

This theorem is referenced by:  mptrabex  5871  eufnfv  5874  abrexex  6268  ofmres  6287  difinfsn  7275  ctmlemr  7283  ctssdclemn0  7285  ctssdc  7288  enumct  7290  frec2uzrand  10635  frec2uzf1od  10636  frecfzennn  10656  uzennn  10666  0tonninf  10670  1tonninf  10671  hashinfom  11008  absval  11520  climle  11853  climcvg1nlem  11868  iserabs  11994  isumshft  12009  divcnv  12016  trireciplem  12019  expcnvap0  12021  expcnvre  12022  expcnv  12023  explecnv  12024  geolim  12030  geo2lim  12035  mertenslem2  12055  eftlub  12209  nninfctlemfo  12569  nninfct  12570  1arithlem1  12894  1arith  12898  ctiunct  13019  restfn  13284  cndsex  14525  metuex  14527  zrhval2  14591  ivthreinc  15327  elply  15416  peano4nninf  16402  peano3nninf  16403  nninfsellemeq  16410  nninfsellemeqinf  16412  dceqnconst  16458  dcapnconst  16459