Theorem mptex 5858

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 22-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptex.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mptex	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mptex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mptexg 5857	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ↦ cmpt 4144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322

This theorem is referenced by:  mptrabex  5860  eufnfv  5863  abrexex  6252  ofmres  6271  difinfsn  7255  ctmlemr  7263  ctssdclemn0  7265  ctssdc  7268  enumct  7270  frec2uzrand  10614  frec2uzf1od  10615  frecfzennn  10635  uzennn  10645  0tonninf  10649  1tonninf  10650  hashinfom  10987  absval  11498  climle  11831  climcvg1nlem  11846  iserabs  11972  isumshft  11987  divcnv  11994  trireciplem  11997  expcnvap0  11999  expcnvre  12000  expcnv  12001  explecnv  12002  geolim  12008  geo2lim  12013  mertenslem2  12033  eftlub  12187  nninfctlemfo  12547  nninfct  12548  1arithlem1  12872  1arith  12876  ctiunct  12997  restfn  13262  cndsex  14502  metuex  14504  zrhval2  14568  ivthreinc  15304  elply  15393  peano4nninf  16303  peano3nninf  16304  nninfsellemeq  16311  nninfsellemeqinf  16313  dceqnconst  16359  dcapnconst  16360