Theorem mptex 5785

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 22-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptex.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mptex	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mptex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mptexg 5784	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ↦ cmpt 4091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263

This theorem is referenced by:  mptrabex  5787  eufnfv  5790  abrexex  6171  ofmres  6190  difinfsn  7161  ctmlemr  7169  ctssdclemn0  7171  ctssdc  7174  enumct  7176  frec2uzrand  10479  frec2uzf1od  10480  frecfzennn  10500  uzennn  10510  0tonninf  10514  1tonninf  10515  hashinfom  10852  absval  11148  climle  11480  climcvg1nlem  11495  iserabs  11621  isumshft  11636  divcnv  11643  trireciplem  11646  expcnvap0  11648  expcnvre  11649  expcnv  11650  explecnv  11651  geolim  11657  geo2lim  11662  mertenslem2  11682  eftlub  11836  nninfctlemfo  12180  nninfct  12181  1arithlem1  12504  1arith  12508  ctiunct  12600  restfn  12857  cndsex  14052  metuex  14054  zrhval2  14118  ivthreinc  14824  elply  14913  peano4nninf  15566  peano3nninf  15567  nninfsellemeq  15574  nninfsellemeqinf  15576  dceqnconst  15620  dcapnconst  15621