Theorem mptex 5880

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 22-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptex.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mptex	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mptex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mptexg 5879	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ↦ cmpt 4150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334

This theorem is referenced by:  mptrabex  5882  eufnfv  5885  abrexex  6279  ofmres  6298  difinfsn  7299  ctmlemr  7307  ctssdclemn0  7309  ctssdc  7312  enumct  7314  frec2uzrand  10668  frec2uzf1od  10669  frecfzennn  10689  uzennn  10699  0tonninf  10703  1tonninf  10704  hashinfom  11041  absval  11566  climle  11899  climcvg1nlem  11914  iserabs  12041  isumshft  12056  divcnv  12063  trireciplem  12066  expcnvap0  12068  expcnvre  12069  expcnv  12070  explecnv  12071  geolim  12077  geo2lim  12082  mertenslem2  12102  eftlub  12256  nninfctlemfo  12616  nninfct  12617  1arithlem1  12941  1arith  12945  ctiunct  13066  restfn  13331  cndsex  14573  metuex  14575  zrhval2  14639  ivthreinc  15375  elply  15464  depindlem1  16351  peano4nninf  16634  peano3nninf  16635  nninfsellemeq  16642  nninfsellemeqinf  16644  dceqnconst  16690  dcapnconst  16691