Theorem mptex 5791

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 22-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptex.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mptex	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mptex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mptexg 5790	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ↦ cmpt 4095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  mptrabex  5793  eufnfv  5796  abrexex  6183  ofmres  6202  difinfsn  7175  ctmlemr  7183  ctssdclemn0  7185  ctssdc  7188  enumct  7190  frec2uzrand  10514  frec2uzf1od  10515  frecfzennn  10535  uzennn  10545  0tonninf  10549  1tonninf  10550  hashinfom  10887  absval  11183  climle  11516  climcvg1nlem  11531  iserabs  11657  isumshft  11672  divcnv  11679  trireciplem  11682  expcnvap0  11684  expcnvre  11685  expcnv  11686  explecnv  11687  geolim  11693  geo2lim  11698  mertenslem2  11718  eftlub  11872  nninfctlemfo  12232  nninfct  12233  1arithlem1  12557  1arith  12561  ctiunct  12682  restfn  12945  cndsex  14185  metuex  14187  zrhval2  14251  ivthreinc  14965  elply  15054  peano4nninf  15737  peano3nninf  15738  nninfsellemeq  15745  nninfsellemeqinf  15747  dceqnconst  15791  dcapnconst  15792