Theorem mptex 5943

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 22-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptex.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mptex	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mptex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mptexg 5942	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ↦ cmpt 4192

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385

This theorem is used by:  mptrabex  5946  eufnfv  5949  abrexex  6346  ofmres  6369  difinfsn  7440  ctmlemr  7448  ctssdclemn0  7450  ctssdc  7453  enumct  7455  frec2uzrand  10844  frec2uzf1od  10845  frecfzennn  10865  uzennn  10875  0tonninf  10879  1tonninf  10880  hashinfom  11219  absval  11769  climle  12102  climcvg1nlem  12117  iserabs  12244  isumshft  12259  divcnv  12266  trireciplem  12269  expcnvap0  12271  expcnvre  12272  expcnv  12273  explecnv  12274  geolim  12280  geo2lim  12285  mertenslem2  12305  eftlub  12459  nninfctlemfo  12819  nninfct  12820  1arithlem1  13144  1arith  13148  ballotfilemfval  13231  ballotfilemsval  13254  ballotfilemrval  13263  ballotfilem7  13281  ctiunct  13333  restfn  13599  cndsex  14892  metuex  14894  zrhval2  14956  ivthreinc  15748  elply  15837  depindlem1  16759  peano4nninf  17061  peano3nninf  17062  nninfsellemeq  17069  nninfsellemeqinf  17071  dceqnconst  17122  dcapnconst  17123