Theorem mptex 5788

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 22-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptex.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mptex	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mptex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mptexg 5787	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ↦ cmpt 4094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266

This theorem is referenced by:  mptrabex  5790  eufnfv  5793  abrexex  6174  ofmres  6193  difinfsn  7166  ctmlemr  7174  ctssdclemn0  7176  ctssdc  7179  enumct  7181  frec2uzrand  10497  frec2uzf1od  10498  frecfzennn  10518  uzennn  10528  0tonninf  10532  1tonninf  10533  hashinfom  10870  absval  11166  climle  11499  climcvg1nlem  11514  iserabs  11640  isumshft  11655  divcnv  11662  trireciplem  11665  expcnvap0  11667  expcnvre  11668  expcnv  11669  explecnv  11670  geolim  11676  geo2lim  11681  mertenslem2  11701  eftlub  11855  nninfctlemfo  12207  nninfct  12208  1arithlem1  12532  1arith  12536  ctiunct  12657  restfn  12914  cndsex  14109  metuex  14111  zrhval2  14175  ivthreinc  14881  elply  14970  peano4nninf  15650  peano3nninf  15651  nninfsellemeq  15658  nninfsellemeqinf  15660  dceqnconst  15704  dcapnconst  15705