Theorem mptex 5875

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 22-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptex.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mptex	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mptex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mptexg 5874	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   ↦ cmpt 4148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332

This theorem is referenced by:  mptrabex  5877  eufnfv  5880  abrexex  6274  ofmres  6293  difinfsn  7293  ctmlemr  7301  ctssdclemn0  7303  ctssdc  7306  enumct  7308  frec2uzrand  10660  frec2uzf1od  10661  frecfzennn  10681  uzennn  10691  0tonninf  10695  1tonninf  10696  hashinfom  11033  absval  11555  climle  11888  climcvg1nlem  11903  iserabs  12029  isumshft  12044  divcnv  12051  trireciplem  12054  expcnvap0  12056  expcnvre  12057  expcnv  12058  explecnv  12059  geolim  12065  geo2lim  12070  mertenslem2  12090  eftlub  12244  nninfctlemfo  12604  nninfct  12605  1arithlem1  12929  1arith  12933  ctiunct  13054  restfn  13319  cndsex  14560  metuex  14562  zrhval2  14626  ivthreinc  15362  elply  15451  peano4nninf  16558  peano3nninf  16559  nninfsellemeq  16566  nninfsellemeqinf  16568  dceqnconst  16614  dcapnconst  16615