Theorem mptex 5890

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 22-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptex.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mptex	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mptex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mptexg 5889	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ↦ cmpt 4155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  mptrabex  5892  eufnfv  5895  abrexex  6288  ofmres  6307  difinfsn  7342  ctmlemr  7350  ctssdclemn0  7352  ctssdc  7355  enumct  7357  frec2uzrand  10711  frec2uzf1od  10712  frecfzennn  10732  uzennn  10742  0tonninf  10746  1tonninf  10747  hashinfom  11084  absval  11622  climle  11955  climcvg1nlem  11970  iserabs  12097  isumshft  12112  divcnv  12119  trireciplem  12122  expcnvap0  12124  expcnvre  12125  expcnv  12126  explecnv  12127  geolim  12133  geo2lim  12138  mertenslem2  12158  eftlub  12312  nninfctlemfo  12672  nninfct  12673  1arithlem1  12997  1arith  13001  ctiunct  13122  restfn  13387  cndsex  14629  metuex  14631  zrhval2  14695  ivthreinc  15436  elply  15525  depindlem1  16427  peano4nninf  16712  peano3nninf  16713  nninfsellemeq  16720  nninfsellemeqinf  16722  dceqnconst  16773  dcapnconst  16774