Theorem elfzouz2 10547

Description: The upper bound of a half-open range is greater or equal to an element of the range. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzouz2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem elfzouz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 10532	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzoel2 10531	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzolt2 10542	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
4		zre 9627	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
5		zre 9627	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		ltle 8403	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁))
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁))
8	1, 2, 7	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 < 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁))
9	3, 8	mpd 13	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
10		eluz2 9906	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
11	1, 2, 9, 10	syl3anbrc 1212	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℝcr 8168   < clt 8350   ≤ cle 8351  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900  ..^cfzo 10527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528

This theorem is referenced by:  elfzofz  10548  elfzo1  10581  seqcaopr2g  10909  seqf1oglem2a  10933  prodfrecap  12291  wlkres  16534  trlreslem  16544  trlsegvdegfi  16622