Theorem elfzouz2 10104

Description: The upper bound of a half-open range is greater or equal to an element of the range. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzouz2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem elfzouz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 10090	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzoel2 10089	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzolt2 10099	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
4		zre 9203	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
5		zre 9203	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		ltle 7994	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁))
7	4, 5, 6	syl2an 287	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁))
8	1, 2, 7	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 < 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁))
9	3, 8	mpd 13	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
10		eluz2 9480	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
11	1, 2, 9, 10	syl3anbrc 1176	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3987  ‘cfv 5196  (class class class)co 5850  ℝcr 7760   < clt 7941   ≤ cle 7942  ℤcz 9199  ℤ_≥cuz 9474  ..^cfzo 10085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-fz 9953  df-fzo 10086

This theorem is referenced by:  elfzofz  10105  elfzo1  10133  prodfrecap  11496