ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzouz2 GIF version

Theorem elfzouz2 9950
Description: The upper bound of a half-open range is greater or equal to an element of the range. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzouz2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))

Proof of Theorem elfzouz2
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 9936 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2 elfzoel2 9935 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 elfzolt2 9945 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
4 zre 9070 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
5 zre 9070 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6 ltle 7863 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑁𝐾𝑁))
74, 5, 6syl2an 287 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁𝐾𝑁))
81, 2, 7syl2anc 408 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 < 𝑁𝐾𝑁))
93, 8mpd 13 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾𝑁)
10 eluz2 9344 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑁))
111, 2, 9, 10syl3anbrc 1165 1 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1480   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cr 7631   < clt 7812  cle 7813  cz 9066  cuz 9338  ..^cfzo 9931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-fz 9803  df-fzo 9932
This theorem is referenced by:  elfzofz  9951  elfzo1  9979  prodfrecap  11327
  Copyright terms: Public domain W3C validator