Theorem fzodisj 10138

Description: Abutting half-open integer ranges are disjoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzodisj	⊢ ((𝐴..^𝐵) ∩ (𝐵..^𝐶)) = ∅

Proof of Theorem fzodisj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disj1 3466	. 2 ⊢ (((𝐴..^𝐵) ∩ (𝐵..^𝐶)) = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶)))
2		elfzolt2 10116	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
3		elfzoelz 10107	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝑥 ∈ ℤ)
4		elfzoel2 10106	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
5		zltnle 9262	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝑥))
6	3, 4, 5	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝑥 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝑥))
7	2, 6	mpbid 146	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → ¬ 𝐵 ≤ 𝑥)
8		elfzole1 10115	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ≤ 𝑥)
9	7, 8	nsyl 624	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶))
10	1, 9	mpgbir 1447	1 ⊢ ((𝐴..^𝐵) ∩ (𝐵..^𝐶)) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1349   ∈ wcel 2142   ∩ cin 3121  ∅c0 3415   class class class wbr 3990  (class class class)co 5857   < clt 7958   ≤ cle 7959  ℤcz 9216  ..^cfzo 10102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-addcom 7878  ax-addass 7880  ax-distr 7882  ax-i2m1 7883  ax-0lt1 7884  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-cnre 7889  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-lttrn 7892  ax-pre-ltadd 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4279  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-fv 5208  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-sub 8096  df-neg 8097  df-inn 8883  df-n0 9140  df-z 9217  df-uz 9492  df-fz 9970  df-fzo 10103

This theorem is referenced by: (None)