Theorem fzodisj 10257

Description: Abutting half-open integer ranges are disjoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzodisj	⊢ ((𝐴..^𝐵) ∩ (𝐵..^𝐶)) = ∅

Proof of Theorem fzodisj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disj1 3502	. 2 ⊢ (((𝐴..^𝐵) ∩ (𝐵..^𝐶)) = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶)))
2		elfzolt2 10235	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
3		elfzoelz 10225	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝑥 ∈ ℤ)
4		elfzoel2 10224	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
5		zltnle 9375	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝑥))
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝑥 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝑥))
7	2, 6	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → ¬ 𝐵 ≤ 𝑥)
8		elfzole1 10234	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ≤ 𝑥)
9	7, 8	nsyl 629	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶))
10	1, 9	mpgbir 1467	1 ⊢ ((𝐴..^𝐵) ∩ (𝐵..^𝐶)) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∩ cin 3156  ∅c0 3451   class class class wbr 4034  (class class class)co 5923   < clt 8064   ≤ cle 8065  ℤcz 9329  ..^cfzo 10220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-addcom 7982  ax-addass 7984  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-ltadd 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-inn 8994  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-fz 10087  df-fzo 10221

This theorem is referenced by: (None)