Theorem addmodlteqALT 12652

Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. Shorter proof of addmodlteq 10857 based on the "divides" relation. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addmodlteqALT	⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem addmodlteqALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 10611	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
2		elfzoelz 10572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
3		simplrr 542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		nn0z 9676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℤ)
5	4	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐼 ∈ ℤ)
6		zaddcl 9696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ)
8		zaddcl 9696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ)
9	8	adantlr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ)
10	3, 7, 9	3jca 1208	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))
11	10	exp31 364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
12	2, 11	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
13	12	com12 30	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
14	13	3adant3 1048	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
15	1, 14	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
16	15	3imp 1224	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))
17		moddvds 12592	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆))))
18	16, 17	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆))))
19		elfzoel2 10571	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		zcn 9661	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
21	20	subid1d 8634	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
22	21	eqcomd 2244	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = (𝑁 − 0))
23	19, 22	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
24	23	3ad2ant1 1049	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
25		elfzoelz 10572	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
26	25	zcnd 9781	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ ℂ)
27	2	zcnd 9781	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
28		zcn 9661	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ℤ → 𝑆 ∈ ℂ)
29		pnpcan2 8574	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆)) = (𝐼 − 𝐽))
30	26, 27, 28, 29	syl3an 1320	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆)) = (𝐼 − 𝐽))
31	24, 30	breq12d 4144	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆)) ↔ (𝑁 − 0) ∥ (𝐼 − 𝐽)))
32		fzocongeq 12651	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑁 − 0) ∥ (𝐼 − 𝐽) ↔ 𝐼 = 𝐽))
33	32	3adant3 1048	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 0) ∥ (𝐼 − 𝐽) ↔ 𝐼 = 𝐽))
34	18, 31, 33	3bitrd 214	1 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝐼 = 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  0cc0 8186   + caddc 8189   < clt 8367   − cmin 8505  ℕcn 9314  ℕ₀cn0 9575  ℤcz 9656  ..^cfzo 10567   mod cmo 10781   ∥ cdvds 12580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-fl 10723  df-mod 10782  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-dvds 12581

This theorem is used by: (None)