Theorem addmodlteqALT 12628

Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. Shorter proof of addmodlteq 10837 based on the "divides" relation. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addmodlteqALT	⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem addmodlteqALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 10595	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
2		elfzoelz 10556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
3		simplrr 542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		nn0z 9666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℤ)
5	4	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐼 ∈ ℤ)
6		zaddcl 9686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ)
8		zaddcl 9686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ)
9	8	adantlr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ)
10	3, 7, 9	3jca 1208	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))
11	10	exp31 364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
12	2, 11	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
13	12	com12 30	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
14	13	3adant3 1048	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
15	1, 14	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
16	15	3imp 1224	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))
17		moddvds 12568	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆))))
18	16, 17	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆))))
19		elfzoel2 10555	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		zcn 9651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
21	20	subid1d 8626	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
22	21	eqcomd 2244	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = (𝑁 − 0))
23	19, 22	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
24	23	3ad2ant1 1049	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
25		elfzoelz 10556	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
26	25	zcnd 9771	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ ℂ)
27	2	zcnd 9771	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
28		zcn 9651	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ℤ → 𝑆 ∈ ℂ)
29		pnpcan2 8566	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆)) = (𝐼 − 𝐽))
30	26, 27, 28, 29	syl3an 1320	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆)) = (𝐼 − 𝐽))
31	24, 30	breq12d 4143	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆)) ↔ (𝑁 − 0) ∥ (𝐼 − 𝐽)))
32		fzocongeq 12627	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑁 − 0) ∥ (𝐼 − 𝐽) ↔ 𝐼 = 𝐽))
33	32	3adant3 1048	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 0) ∥ (𝐼 − 𝐽) ↔ 𝐼 = 𝐽))
34	18, 31, 33	3bitrd 214	1 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝐼 = 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  0cc0 8179   + caddc 8182   < clt 8360   − cmin 8497  ℕcn 9305  ℕ₀cn0 9565  ℤcz 9646  ..^cfzo 10551   mod cmo 10761   ∥ cdvds 12556

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-fl 10707  df-mod 10762  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-dvds 12557

This theorem is used by: (None)