Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addmodlteqALT GIF version

 Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. Shorter proof of addmodlteq 10122 based on the "divides" relation. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addmodlteqALT ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝐼 = 𝐽))

StepHypRef Expression
1 elfzo0 9910 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
2 elfzoelz 9875 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
3 simplrr 508 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
4 nn0z 9028 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ)
54ad2antrl 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐼 ∈ ℤ)
6 zaddcl 9048 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ)
75, 6sylan 279 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ)
8 zaddcl 9048 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ)
98adantlr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ)
103, 7, 93jca 1144 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))
1110exp31 359 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ ℤ → ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
122, 11syl 14 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
1312com12 30 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
14133adant3 984 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
151, 14sylbi 120 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))))
16153imp 1158 . . 3 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ))
17 moddvds 11409 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 𝑆) ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆))))
1816, 17syl 14 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆))))
19 elfzoel2 9874 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
20 zcn 9013 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2120subid1d 8026 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
2221eqcomd 2121 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = (𝑁 − 0))
2319, 22syl 14 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
24233ad2ant1 985 . . 3 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
25 elfzoelz 9875 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
2625zcnd 9128 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ ℂ)
272zcnd 9128 . . . 4 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
28 zcn 9013 . . . 4 (𝑆 ∈ ℤ → 𝑆 ∈ ℂ)
29 pnpcan2 7966 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆)) = (𝐼𝐽))
3026, 27, 28, 29syl3an 1241 . . 3 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆)) = (𝐼𝐽))
3124, 30breq12d 3910 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ ((𝐼 + 𝑆) − (𝐽 + 𝑆)) ↔ (𝑁 − 0) ∥ (𝐼𝐽)))
32 fzocongeq 11463 . . 3 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑁 − 0) ∥ (𝐼𝐽) ↔ 𝐼 = 𝐽))
33323adant3 984 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 0) ∥ (𝐼𝐽) ↔ 𝐼 = 𝐽))
3418, 31, 333bitrd 213 1 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝐼 = 𝐽))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 945   = wceq 1314   ∈ wcel 1463   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740  ℂcc 7582  0cc0 7584   + caddc 7587   < clt 7764   − cmin 7897  ℕcn 8680  ℕ0cn0 8931  ℤcz 9008  ..^cfzo 9870   mod cmo 10046   ∥ cdvds 11400 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-fz 9742  df-fzo 9871  df-fl 9994  df-mod 10047  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-dvds 11401 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator