Theorem 0nn0 9016

Description: 0 is a nonnegative integer. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
0nn0	⊢ 0 ∈ ℕ0

Proof of Theorem 0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2140	. 2 ⊢ 0 = 0
2		elnn0 9003	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 ↔ (0 ∈ ℕ ∨ 0 = 0))
3	2	biimpri 132	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ ∨ 0 = 0) → 0 ∈ ℕ0)
4	3	olcs 726	. 2 ⊢ (0 = 0 → 0 ∈ ℕ0)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 0 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  0cc0 7644  ℕcn 8744  ℕ₀cn0 9001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-1cn 7737  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-mulcl 7742  ax-i2m1 7749

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-sn 3538  df-n0 9002

This theorem is referenced by:  0xnn0  9070  elnn0z  9091  nn0ind-raph  9192  10nn0  9223  declei  9241  numlti  9242  nummul1c  9254  decaddc2  9261  decrmanc  9262  decrmac  9263  decaddm10  9264  decaddi  9265  decaddci  9266  decaddci2  9267  decmul1  9269  decmulnc  9272  6p5e11  9278  7p4e11  9281  8p3e11  9286  9p2e11  9292  10p10e20  9300  fz01or  9922  0elfz  9929  4fvwrd4  9948  fvinim0ffz  10049  0tonninf  10243  exple1  10380  sq10  10490  bc0k  10534  bcn1  10536  bccl  10545  fihasheq0  10572  fsumnn0cl  11204  binom  11285  bcxmas  11290  isumnn0nn  11294  geoserap  11308  ef0lem  11403  ege2le3  11414  ef4p  11437  efgt1p2  11438  efgt1p  11439  nn0o  11640  ndvdssub  11663  gcdval  11684  gcdcl  11691  dfgcd3  11734  nn0seqcvgd  11758  algcvg  11765  eucalg  11776  lcmcl  11789  pw2dvdslemn  11879  ennnfonelemj0  11950  ennnfonelem0  11954  ennnfonelem1  11956  dveflem  12895  pilem3  12912  1kp2ke3k  13107  ex-fac  13111  012of  13363  isomninnlem  13400  iswomninnlem  13417  ismkvnnlem  13419