Theorem 0nn0 8992

Description: 0 is a nonnegative integer. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
0nn0	⊢ 0 ∈ ℕ0

Proof of Theorem 0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2139	. 2 ⊢ 0 = 0
2		elnn0 8979	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 ↔ (0 ∈ ℕ ∨ 0 = 0))
3	2	biimpri 132	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ ∨ 0 = 0) → 0 ∈ ℕ0)
4	3	olcs 725	. 2 ⊢ (0 = 0 → 0 ∈ ℕ0)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 0 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  0cc0 7620  ℕcn 8720  ℕ₀cn0 8977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-mulcl 7718  ax-i2m1 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-n0 8978

This theorem is referenced by:  0xnn0  9046  elnn0z  9067  nn0ind-raph  9168  10nn0  9199  declei  9217  numlti  9218  nummul1c  9230  decaddc2  9237  decrmanc  9238  decrmac  9239  decaddm10  9240  decaddi  9241  decaddci  9242  decaddci2  9243  decmul1  9245  decmulnc  9248  6p5e11  9254  7p4e11  9257  8p3e11  9262  9p2e11  9268  10p10e20  9276  fz01or  9891  0elfz  9898  4fvwrd4  9917  fvinim0ffz  10018  0tonninf  10212  exple1  10349  sq10  10459  bc0k  10502  bcn1  10504  bccl  10513  fihasheq0  10540  fsumnn0cl  11172  binom  11253  bcxmas  11258  isumnn0nn  11262  geoserap  11276  ef0lem  11366  ege2le3  11377  ef4p  11400  efgt1p2  11401  efgt1p  11402  nn0o  11604  ndvdssub  11627  gcdval  11648  gcdcl  11655  dfgcd3  11698  nn0seqcvgd  11722  algcvg  11729  eucalg  11740  lcmcl  11753  pw2dvdslemn  11843  ennnfonelemj0  11914  ennnfonelem0  11918  ennnfonelem1  11920  dveflem  12855  pilem3  12864  1kp2ke3k  12936  ex-fac  12940  isomninnlem  13225