Theorem 0nn0 9125

Description: 0 is a nonnegative integer. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
0nn0	⊢ 0 ∈ ℕ0

Proof of Theorem 0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2165	. 2 ⊢ 0 = 0
2		elnn0 9112	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 ↔ (0 ∈ ℕ ∨ 0 = 0))
3	2	biimpri 132	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ ∨ 0 = 0) → 0 ∈ ℕ0)
4	3	olcs 726	. 2 ⊢ (0 = 0 → 0 ∈ ℕ0)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 0 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ∨ wo 698   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  0cc0 7749  ℕcn 8853  ℕ₀cn0 9110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-1cn 7842  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-mulcl 7847  ax-i2m1 7854

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-v 2727  df-un 3119  df-sn 3581  df-n0 9111

This theorem is referenced by:  0xnn0  9179  elnn0z  9200  nn0ind-raph  9304  10nn0  9335  declei  9353  numlti  9354  nummul1c  9366  decaddc2  9373  decrmanc  9374  decrmac  9375  decaddm10  9376  decaddi  9377  decaddci  9378  decaddci2  9379  decmul1  9381  decmulnc  9384  6p5e11  9390  7p4e11  9393  8p3e11  9398  9p2e11  9404  10p10e20  9412  fz01or  10042  0elfz  10049  4fvwrd4  10071  fvinim0ffz  10172  0tonninf  10370  exple1  10507  sq10  10621  bc0k  10665  bcn1  10667  bccl  10676  fihasheq0  10703  fsumnn0cl  11340  binom  11421  bcxmas  11426  isumnn0nn  11430  geoserap  11444  ef0lem  11597  ege2le3  11608  ef4p  11631  efgt1p2  11632  efgt1p  11633  nn0o  11840  ndvdssub  11863  gcdval  11888  gcdcl  11895  dfgcd3  11939  nn0seqcvgd  11969  algcvg  11976  eucalg  11987  lcmcl  12000  pw2dvdslemn  12093  pclem0  12214  pcpre1  12220  pcfac  12276  ennnfonelemj0  12330  ennnfonelem0  12334  ennnfonelem1  12336  dveflem  13287  pilem3  13304  1kp2ke3k  13565  ex-fac  13569  012of  13835  isomninnlem  13869  iswomninnlem  13888  iswomni0  13890  ismkvnnlem  13891