Theorem 0nn0 9589

Description: 0 is a nonnegative integer. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
0nn0	⊢ 0 ∈ ℕ0

Proof of Theorem 0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. 2 ⊢ 0 = 0
2		elnn0 9576	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 ↔ (0 ∈ ℕ ∨ 0 = 0))
3	2	biimpri 133	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ ∨ 0 = 0) → 0 ∈ ℕ0)
4	3	olcs 748	. 2 ⊢ (0 = 0 → 0 ∈ ℕ0)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 0 ∈ ℕ0

This proof depends on syntax axioms:   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  0cc0 8185  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-1cn 8278  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-mulcl 8283  ax-i2m1 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-n0 9575

This theorem is used by:  0xnn0  9647  elnn0z  9668  nn0ind-raph  9774  10nn0  9809  declei  9828  numlti  9829  nummul1c  9841  decaddc2  9848  decrmanc  9849  decrmac  9850  decaddm10  9851  decaddi  9852  decaddci  9853  decaddci2  9854  decmul1  9856  decmulnc  9859  6p5e11  9865  7p4e11  9868  8p3e11  9873  9p2e11  9879  10p10e20  9887  fz01or  10535  0elfz  10542  4fvwrd4  10564  fvinim0ffz  10677  0tonninf  10898  exple1  11053  sq10  11172  bc0k  11216  bcn1  11218  bccl  11227  fihasheq0  11254  hashfibc  11305  iswrdiz  11333  iswrddm0  11350  s1leng  11414  s1fv  11416  eqs1  11418  s111  11421  ccat2s1fstg  11438  pfx00g  11469  s2fv0g  11581  s3fv0g  11585  fsumnn0cl  12195  binom  12276  bcxmas  12281  isumnn0nn  12285  geoserap  12299  ef0lem  12452  ege2le3  12463  ef4p  12486  efgt1p2  12487  efgt1p  12488  nn0o  12699  ndvdssub  12722  5ndvds3  12726  bits0  12740  0bits  12751  gcdval  12761  gcdcl  12768  dfgcd3  12812  nn0seqcvgd  12844  algcvg  12851  eucalg  12862  lcmcl  12875  pwbdvdslemn  12969  pclem0  13094  pcpre1  13100  pcfac  13158  dec5dvds2  13221  2exp11  13245  2exp16  13246  10nprm  13257  11prm  13258  37prm  13264  43prm  13265  83prm  13266  139prm  13267  163prm  13268  317prm  13269  631prm  13270  1259lem1  13271  1259lem2  13272  1259lem3  13273  1259lem4  13274  1259lem5  13275  ennnfonelemj0  13350  ennnfonelem0  13354  ennnfonelem1  13356  plendxnocndx  13627  slotsdifdsndx  13638  slotsdifunifndx  13645  imasvalstrd  13678  gsum0cmn  14244  cnfldstr  15004  nn0subm  15029  znf1o  15095  fczpsrbag  15165  psr1clfi  15198  psrlidmfi  15199  mplsubgfilemm  15214  dveflem  15952  plyconst  15971  plycolemc  15984  pilem3  16010  log2ublem3  16223  log2ublog2  16224  ppiublem2  16292  chtublem  16295  bclbnd  16307  bposlem8  16318  clwwlkn0  16854  clwwlk0on0  16877  konigsberglem2  16935  konigsberglem3  16936  konigsberglem5  16938  konigsberg  16939  1kp2ke3k  16943  ex-fac  16947  depindlem1  16952  012of  17228  isomninnlem  17285  iswomninnlem  17306  iswomni0  17308  ismkvnnlem  17309