ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0nn0 GIF version

Theorem 0nn0 8946
Description: 0 is a nonnegative integer. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)
Assertion
Ref Expression
0nn0 0 ∈ ℕ0

Proof of Theorem 0nn0
StepHypRef Expression
1 eqid 2115 . 2 0 = 0
2 elnn0 8933 . . . 4 (0 ∈ ℕ0 ↔ (0 ∈ ℕ ∨ 0 = 0))
32biimpri 132 . . 3 ((0 ∈ ℕ ∨ 0 = 0) → 0 ∈ ℕ0)
43olcs 708 . 2 (0 = 0 → 0 ∈ ℕ0)
51, 4ax-mp 5 1 0 ∈ ℕ0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wo 680   = wceq 1314  wcel 1463  0cc0 7584  cn 8680  0cn0 8931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-1cn 7677  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-mulcl 7682  ax-i2m1 7689
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-v 2660  df-un 3043  df-sn 3501  df-n0 8932
This theorem is referenced by:  0xnn0  9000  elnn0z  9021  nn0ind-raph  9122  10nn0  9153  declei  9171  numlti  9172  nummul1c  9184  decaddc2  9191  decrmanc  9192  decrmac  9193  decaddm10  9194  decaddi  9195  decaddci  9196  decaddci2  9197  decmul1  9199  decmulnc  9202  6p5e11  9208  7p4e11  9211  8p3e11  9216  9p2e11  9222  10p10e20  9230  fz01or  9842  0elfz  9849  4fvwrd4  9868  fvinim0ffz  9969  0tonninf  10163  exple1  10300  sq10  10410  bc0k  10453  bcn1  10455  bccl  10464  fihasheq0  10491  fsumnn0cl  11123  binom  11204  bcxmas  11209  isumnn0nn  11213  geoserap  11227  ef0lem  11276  ege2le3  11287  ef4p  11310  efgt1p2  11311  efgt1p  11312  nn0o  11511  ndvdssub  11534  gcdval  11555  gcdcl  11562  dfgcd3  11605  nn0seqcvgd  11629  algcvg  11636  eucalg  11647  lcmcl  11660  pw2dvdslemn  11749  ennnfonelemj0  11820  ennnfonelem0  11824  ennnfonelem1  11826  dveflem  12761  1kp2ke3k  12770  ex-fac  12774  isomninnlem  13059
  Copyright terms: Public domain W3C validator