Theorem nn0n0n1ge2 9358

Description: A nonnegative integer which is neither 0 nor 1 is greater than or equal to 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
nn0n0n1ge2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0n0n1ge2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 9221	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2		1cnd 8008	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2, 2	subsub4d 8334	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
4		1p1e2 9071	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
5	4	oveq2i 5911	. . . . 5 ⊢ (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2)
6	3, 5	eqtr2di 2239	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
7	6	3ad2ant1 1020	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
8		3simpa 996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
9		elnnne0 9225	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
10	8, 9	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
11		nnm1nn0 9252	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
13	1, 2	subeq0ad 8313	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) = 0 ↔ 𝑁 = 1))
14	13	biimpd 144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) = 0 → 𝑁 = 1))
15	14	necon3d 2404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 − 1) ≠ 0))
16	15	imp 124	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ≠ 0)
17	16	3adant2 1018	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ≠ 0)
18		elnnne0 9225	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ≠ 0))
19	12, 17, 18	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
20		nnm1nn0 9252	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0)
22	7, 21	eqeltrd 2266	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
23		2nn0 9228	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24	23	jctl 314	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
25	24	3ad2ant1 1020	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
26		nn0sub 9354	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0))
27	25, 26	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0))
28	22, 27	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360   class class class wbr 4021  (class class class)co 5900  0cc0 7846  1c1 7847   + caddc 7849   ≤ cle 8028   − cmin 8163  ℕcn 8954  2c2 9005  ℕ₀cn0 9211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-inn 8955  df-2 9013  df-n0 9212  df-z 9289

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  9367