ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0n0n1ge2 GIF version

Theorem nn0n0n1ge2 9358
Description: A nonnegative integer which is neither 0 nor 1 is greater than or equal to 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
nn0n0n1ge2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0n0n1ge2
StepHypRef Expression
1 nn0cn 9221 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
2 1cnd 8008 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
31, 2, 2subsub4d 8334 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
4 1p1e2 9071 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
54oveq2i 5911 . . . . 5 (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2)
63, 5eqtr2di 2239 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
763ad2ant1 1020 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
8 3simpa 996 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
9 elnnne0 9225 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
108, 9sylibr 134 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
11 nnm1nn0 9252 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
1210, 11syl 14 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
131, 2subeq0ad 8313 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) = 0 ↔ 𝑁 = 1))
1413biimpd 144 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) = 0 → 𝑁 = 1))
1514necon3d 2404 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 − 1) ≠ 0))
1615imp 124 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ≠ 0)
17163adant2 1018 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ≠ 0)
18 elnnne0 9225 . . . . 5 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ≠ 0))
1912, 17, 18sylanbrc 417 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
20 nnm1nn0 9252 . . . 4 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0)
2119, 20syl 14 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0)
227, 21eqeltrd 2266 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
23 2nn0 9228 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
2423jctl 314 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
25243ad2ant1 1020 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (2 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
26 nn0sub 9354 . . 3 ((2 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0))
2725, 26syl 14 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0))
2822, 27mpbird 167 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  wne 2360   class class class wbr 4021  (class class class)co 5900  0cc0 7846  1c1 7847   + caddc 7849  cle 8028  cmin 8163  cn 8954  2c2 9005  0cn0 9211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-ltadd 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-inn 8955  df-2 9013  df-n0 9212  df-z 9289
This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  9367
  Copyright terms: Public domain W3C validator