Theorem nn0n0n1ge2 9121

Description: A nonnegative integer which is neither 0 nor 1 is greater than or equal to 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
nn0n0n1ge2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0n0n1ge2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 8987	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2		1cnd 7782	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2, 2	subsub4d 8104	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
4		1p1e2 8837	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
5	4	oveq2i 5785	. . . . 5 ⊢ (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2)
6	3, 5	syl6req 2189	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
7	6	3ad2ant1 1002	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
8		3simpa 978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
9		elnnne0 8991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
10	8, 9	sylibr 133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
11		nnm1nn0 9018	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
13	1, 2	subeq0ad 8083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) = 0 ↔ 𝑁 = 1))
14	13	biimpd 143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) = 0 → 𝑁 = 1))
15	14	necon3d 2352	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 − 1) ≠ 0))
16	15	imp 123	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ≠ 0)
17	16	3adant2 1000	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ≠ 0)
18		elnnne0 8991	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ≠ 0))
19	12, 17, 18	sylanbrc 413	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
20		nnm1nn0 9018	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0)
22	7, 21	eqeltrd 2216	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
23		2nn0 8994	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24	23	jctl 312	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
25	24	3ad2ant1 1002	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
26		nn0sub 9120	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0))
27	25, 26	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0))
28	22, 27	mpbird 166	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   ≤ cle 7801   − cmin 7933  ℕcn 8720  2c2 8771  ℕ₀cn0 8977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-2 8779  df-n0 8978  df-z 9055

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  9130