Theorem bezoutlemle 11941

Description: Lemma for Bézout's identity. The number satisfying the greatest common divisor condition is the largest number which divides both 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemgcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
bezoutlemgcd.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemle	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝜑,𝑧

Proof of Theorem bezoutlemle

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))
2		breq1 3985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑤 ∥ 𝐷))
3		breq1 3985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝑤 ∥ 𝐴))
4		breq1 3985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝑤 ∥ 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
6	2, 5	bibi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))))
7		equcom 1694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑧)
8		bicom 139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))) ↔ ((𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
9	6, 7, 8	3imtr3i 199	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
10		bezoutlemgcd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
11	6	cbvralv 2692	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
12	10, 11	sylib 121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
13	12	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
14		simplr 520	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝑧 ∈ ℤ)
15	9, 13, 14	rspcdva 2835	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
16	1, 15	mpbird 166	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝑧 ∥ 𝐷)
17		bezoutlemgcd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
18	17	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
19		bezoutlemgcd.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
20	19	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
21		breq1 3985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 0 ∥ 𝐷))
22		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 0 ∥ 𝐴))
23		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 0 ∥ 𝐵))
24	22, 23	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵)))
25	21, 24	bibi12d 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (0 ∥ 𝐷 ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵))))
26		0zd 9203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
27	25, 10, 26	rspcdva 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 ∥ 𝐷 ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵)))
28	27	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (0 ∥ 𝐷 ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵)))
29	18	nn0zd 9311	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℤ)
30		0dvds 11751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 = 0))
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (0 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 = 0))
32		bezoutlemgcd.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
33	32	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℤ)
34		0dvds 11751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐴 ↔ 𝐴 = 0))
35	33, 34	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (0 ∥ 𝐴 ↔ 𝐴 = 0))
36		bezoutlemgcd.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
37	36	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
38		0dvds 11751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
40	35, 39	anbi12d 465	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ((0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
41	28, 31, 40	3bitr3d 217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝐷 = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
42	20, 41	mtbird 663	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ¬ 𝐷 = 0)
43	42	neqned 2343	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐷 ≠ 0)
44		elnnne0 9128	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ ↔ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ≠ 0))
45	18, 43, 44	sylanbrc 414	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℕ)
46		dvdsle 11782	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝐷 → 𝑧 ≤ 𝐷))
47	14, 45, 46	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝐷 → 𝑧 ≤ 𝐷))
48	16, 47	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝑧 ≤ 𝐷)
49	48	ex 114	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷))
50	49	ralrimiva 2539	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336  ∀wral 2444   class class class wbr 3982  0cc0 7753   ≤ cle 7934  ℕcn 8857  ℕ₀cn0 9114  ℤcz 9191   ∥ cdvds 11727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-q 9558  df-dvds 11728

This theorem is referenced by:  bezoutlemsup  11942