Theorem bezoutlemle 12011

Description: Lemma for Bézout's identity. The number satisfying the greatest common divisor condition is the largest number which divides both 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemgcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
bezoutlemgcd.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemle	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝜑,𝑧

Proof of Theorem bezoutlemle

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))
2		breq1 4008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑤 ∥ 𝐷))
3		breq1 4008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝑤 ∥ 𝐴))
4		breq1 4008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝑤 ∥ 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
6	2, 5	bibi12d 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))))
7		equcom 1706	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑧)
8		bicom 140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))) ↔ ((𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
9	6, 7, 8	3imtr3i 200	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
10		bezoutlemgcd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
11	6	cbvralv 2705	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
12	10, 11	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
13	12	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
14		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝑧 ∈ ℤ)
15	9, 13, 14	rspcdva 2848	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
16	1, 15	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝑧 ∥ 𝐷)
17		bezoutlemgcd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
18	17	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
19		bezoutlemgcd.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
20	19	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
21		breq1 4008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 0 ∥ 𝐷))
22		breq1 4008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 0 ∥ 𝐴))
23		breq1 4008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 0 ∥ 𝐵))
24	22, 23	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵)))
25	21, 24	bibi12d 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (0 ∥ 𝐷 ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵))))
26		0zd 9267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
27	25, 10, 26	rspcdva 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 ∥ 𝐷 ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵)))
28	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (0 ∥ 𝐷 ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵)))
29	18	nn0zd 9375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℤ)
30		0dvds 11820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 = 0))
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (0 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 = 0))
32		bezoutlemgcd.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℤ)
34		0dvds 11820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐴 ↔ 𝐴 = 0))
35	33, 34	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (0 ∥ 𝐴 ↔ 𝐴 = 0))
36		bezoutlemgcd.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
37	36	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
38		0dvds 11820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
40	35, 39	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ((0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
41	28, 31, 40	3bitr3d 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝐷 = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
42	20, 41	mtbird 673	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ¬ 𝐷 = 0)
43	42	neqned 2354	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐷 ≠ 0)
44		elnnne0 9192	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ ↔ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ≠ 0))
45	18, 43, 44	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℕ)
46		dvdsle 11852	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝐷 → 𝑧 ≤ 𝐷))
47	14, 45, 46	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝐷 → 𝑧 ≤ 𝐷))
48	16, 47	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝑧 ≤ 𝐷)
49	48	ex 115	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷))
50	49	ralrimiva 2550	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∀wral 2455   class class class wbr 4005  0cc0 7813   ≤ cle 7995  ℕcn 8921  ℕ₀cn0 9178  ℤcz 9255   ∥ cdvds 11796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-q 9622  df-dvds 11797

This theorem is referenced by:  bezoutlemsup  12012