Theorem bezoutlemle 12200

Description: Lemma for Bézout's identity. The number satisfying the greatest common divisor condition is the largest number which divides both 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemgcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
bezoutlemgcd.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemle	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝜑,𝑧

Proof of Theorem bezoutlemle

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))
2		breq1 4037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑤 ∥ 𝐷))
3		breq1 4037	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝑤 ∥ 𝐴))
4		breq1 4037	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝑤 ∥ 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
6	2, 5	bibi12d 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))))
7		equcom 1720	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑧)
8		bicom 140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))) ↔ ((𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
9	6, 7, 8	3imtr3i 200	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
10		bezoutlemgcd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
11	6	cbvralv 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
12	10, 11	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
13	12	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
14		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝑧 ∈ ℤ)
15	9, 13, 14	rspcdva 2873	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
16	1, 15	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝑧 ∥ 𝐷)
17		bezoutlemgcd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
18	17	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
19		bezoutlemgcd.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
20	19	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
21		breq1 4037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 0 ∥ 𝐷))
22		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 0 ∥ 𝐴))
23		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 0 ∥ 𝐵))
24	22, 23	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵)))
25	21, 24	bibi12d 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (0 ∥ 𝐷 ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵))))
26		0zd 9355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
27	25, 10, 26	rspcdva 2873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 ∥ 𝐷 ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵)))
28	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (0 ∥ 𝐷 ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵)))
29	18	nn0zd 9463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℤ)
30		0dvds 11993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 = 0))
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (0 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 = 0))
32		bezoutlemgcd.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℤ)
34		0dvds 11993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐴 ↔ 𝐴 = 0))
35	33, 34	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (0 ∥ 𝐴 ↔ 𝐴 = 0))
36		bezoutlemgcd.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
37	36	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
38		0dvds 11993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
40	35, 39	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ((0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
41	28, 31, 40	3bitr3d 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝐷 = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
42	20, 41	mtbird 674	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ¬ 𝐷 = 0)
43	42	neqned 2374	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐷 ≠ 0)
44		elnnne0 9280	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ ↔ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ≠ 0))
45	18, 43, 44	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℕ)
46		dvdsle 12026	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝐷 → 𝑧 ≤ 𝐷))
47	14, 45, 46	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝐷 → 𝑧 ≤ 𝐷))
48	16, 47	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝑧 ≤ 𝐷)
49	48	ex 115	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷))
50	49	ralrimiva 2570	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∀wral 2475   class class class wbr 4034  0cc0 7896   ≤ cle 8079  ℕcn 9007  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343   ∥ cdvds 11969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-q 9711  df-dvds 11970

This theorem is referenced by:  bezoutlemsup  12201