ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezoutlemle GIF version

Theorem bezoutlemle 12009
Description: Lemma for Bézout's identity. The number satisfying the greatest common divisor condition is the largest number which divides both 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
bezoutlemgcd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
bezoutlemgcd.5 (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
Assertion
Ref Expression
bezoutlemle (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝐴𝑧𝐵) → 𝑧𝐷))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝜑,𝑧

Proof of Theorem bezoutlemle
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (𝑧𝐴𝑧𝐵))
2 breq1 4007 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐷𝑤𝐷))
3 breq1 4007 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐴𝑤𝐴))
4 breq1 4007 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐵𝑤𝐵))
53, 4anbi12d 473 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝐴𝑧𝐵) ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
62, 5bibi12d 235 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ (𝑤𝐷 ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵))))
7 equcom 1706 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤𝑤 = 𝑧)
8 bicom 140 . . . . . . 7 (((𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ (𝑤𝐷 ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵))) ↔ ((𝑤𝐷 ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵)) ↔ (𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
96, 7, 83imtr3i 200 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤𝐷 ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵)) ↔ (𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
10 bezoutlemgcd.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
116cbvralv 2704 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝐷 ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
1210, 11sylib 122 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝐷 ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
1312ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝐷 ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
14 simplr 528 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → 𝑧 ∈ ℤ)
159, 13, 14rspcdva 2847 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
161, 15mpbird 167 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → 𝑧𝐷)
17 bezoutlemgcd.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
1817ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
19 bezoutlemgcd.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
2019ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
21 breq1 4007 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 0 → (𝑧𝐷 ↔ 0 ∥ 𝐷))
22 breq1 4007 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 0 → (𝑧𝐴 ↔ 0 ∥ 𝐴))
23 breq1 4007 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 0 → (𝑧𝐵 ↔ 0 ∥ 𝐵))
2422, 23anbi12d 473 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 0 → ((𝑧𝐴𝑧𝐵) ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵)))
2521, 24bibi12d 235 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 0 → ((𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ (0 ∥ 𝐷 ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵))))
26 0zd 9265 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2725, 10, 26rspcdva 2847 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 ∥ 𝐷 ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵)))
2827ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (0 ∥ 𝐷 ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵)))
2918nn0zd 9373 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → 𝐷 ∈ ℤ)
30 0dvds 11818 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐷𝐷 = 0))
3129, 30syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (0 ∥ 𝐷𝐷 = 0))
32 bezoutlemgcd.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
3332ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → 𝐴 ∈ ℤ)
34 0dvds 11818 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐴𝐴 = 0))
3533, 34syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (0 ∥ 𝐴𝐴 = 0))
36 bezoutlemgcd.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3736ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
38 0dvds 11818 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵𝐵 = 0))
3937, 38syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (0 ∥ 𝐵𝐵 = 0))
4035, 39anbi12d 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → ((0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
4128, 31, 403bitr3d 218 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (𝐷 = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
4220, 41mtbird 673 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → ¬ 𝐷 = 0)
4342neqned 2354 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → 𝐷 ≠ 0)
44 elnnne0 9190 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℕ ↔ (𝐷 ∈ ℕ0𝐷 ≠ 0))
4518, 43, 44sylanbrc 417 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → 𝐷 ∈ ℕ)
46 dvdsle 11850 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑧𝐷𝑧𝐷))
4714, 45, 46syl2anc 411 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (𝑧𝐷𝑧𝐷))
4816, 47mpd 13 . . 3 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → 𝑧𝐷)
4948ex 115 . 2 ((𝜑𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧𝐴𝑧𝐵) → 𝑧𝐷))
5049ralrimiva 2550 1 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝐴𝑧𝐵) → 𝑧𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  wral 2455   class class class wbr 4004  0cc0 7811  cle 7993  cn 8919  0cn0 9176  cz 9253  cdvds 11794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-q 9620  df-dvds 11795
This theorem is referenced by:  bezoutlemsup  12010
  Copyright terms: Public domain W3C validator