ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezoutlemle GIF version

Theorem bezoutlemle 11681
Description: Lemma for Bézout's identity. The number satisfying the greatest common divisor condition is the largest number which divides both 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
bezoutlemgcd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
bezoutlemgcd.5 (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
Assertion
Ref Expression
bezoutlemle (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝐴𝑧𝐵) → 𝑧𝐷))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝜑,𝑧

Proof of Theorem bezoutlemle
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (𝑧𝐴𝑧𝐵))
2 breq1 3927 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐷𝑤𝐷))
3 breq1 3927 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐴𝑤𝐴))
4 breq1 3927 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐵𝑤𝐵))
53, 4anbi12d 464 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝐴𝑧𝐵) ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
62, 5bibi12d 234 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ (𝑤𝐷 ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵))))
7 equcom 1682 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤𝑤 = 𝑧)
8 bicom 139 . . . . . . 7 (((𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ (𝑤𝐷 ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵))) ↔ ((𝑤𝐷 ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵)) ↔ (𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
96, 7, 83imtr3i 199 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤𝐷 ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵)) ↔ (𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
10 bezoutlemgcd.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
116cbvralv 2652 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝐷 ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
1210, 11sylib 121 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝐷 ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
1312ad2antrr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝐷 ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
14 simplr 519 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → 𝑧 ∈ ℤ)
159, 13, 14rspcdva 2789 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
161, 15mpbird 166 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → 𝑧𝐷)
17 bezoutlemgcd.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
1817ad2antrr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
19 bezoutlemgcd.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
2019ad2antrr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
21 breq1 3927 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 0 → (𝑧𝐷 ↔ 0 ∥ 𝐷))
22 breq1 3927 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 0 → (𝑧𝐴 ↔ 0 ∥ 𝐴))
23 breq1 3927 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 0 → (𝑧𝐵 ↔ 0 ∥ 𝐵))
2422, 23anbi12d 464 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 0 → ((𝑧𝐴𝑧𝐵) ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵)))
2521, 24bibi12d 234 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 0 → ((𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ (0 ∥ 𝐷 ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵))))
26 0zd 9059 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2725, 10, 26rspcdva 2789 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 ∥ 𝐷 ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵)))
2827ad2antrr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (0 ∥ 𝐷 ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵)))
2918nn0zd 9164 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → 𝐷 ∈ ℤ)
30 0dvds 11498 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐷𝐷 = 0))
3129, 30syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (0 ∥ 𝐷𝐷 = 0))
32 bezoutlemgcd.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
3332ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → 𝐴 ∈ ℤ)
34 0dvds 11498 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐴𝐴 = 0))
3533, 34syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (0 ∥ 𝐴𝐴 = 0))
36 bezoutlemgcd.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3736ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
38 0dvds 11498 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵𝐵 = 0))
3937, 38syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (0 ∥ 𝐵𝐵 = 0))
4035, 39anbi12d 464 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → ((0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
4128, 31, 403bitr3d 217 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (𝐷 = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
4220, 41mtbird 662 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → ¬ 𝐷 = 0)
4342neqned 2313 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → 𝐷 ≠ 0)
44 elnnne0 8984 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℕ ↔ (𝐷 ∈ ℕ0𝐷 ≠ 0))
4518, 43, 44sylanbrc 413 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → 𝐷 ∈ ℕ)
46 dvdsle 11527 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑧𝐷𝑧𝐷))
4714, 45, 46syl2anc 408 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (𝑧𝐷𝑧𝐷))
4816, 47mpd 13 . . 3 (((𝜑𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → 𝑧𝐷)
4948ex 114 . 2 ((𝜑𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧𝐴𝑧𝐵) → 𝑧𝐷))
5049ralrimiva 2503 1 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝐴𝑧𝐵) → 𝑧𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2306  wral 2414   class class class wbr 3924  0cc0 7613  cle 7794  cn 8713  0cn0 8970  cz 9047  cdvds 11478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-q 9405  df-dvds 11479
This theorem is referenced by:  bezoutlemsup  11682
  Copyright terms: Public domain W3C validator