Theorem bezoutlemle 12569

Description: Lemma for Bézout's identity. The number satisfying the greatest common divisor condition is the largest number which divides both 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemgcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
bezoutlemgcd.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemle	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝜑,𝑧

Proof of Theorem bezoutlemle

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))
2		breq1 4089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑤 ∥ 𝐷))
3		breq1 4089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝑤 ∥ 𝐴))
4		breq1 4089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝑤 ∥ 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
6	2, 5	bibi12d 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))))
7		equcom 1752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑧)
8		bicom 140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))) ↔ ((𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
9	6, 7, 8	3imtr3i 200	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
10		bezoutlemgcd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
11	6	cbvralv 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
12	10, 11	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
13	12	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝐷 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
14		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝑧 ∈ ℤ)
15	9, 13, 14	rspcdva 2913	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
16	1, 15	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝑧 ∥ 𝐷)
17		bezoutlemgcd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
18	17	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
19		bezoutlemgcd.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
20	19	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
21		breq1 4089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 0 ∥ 𝐷))
22		breq1 4089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 0 ∥ 𝐴))
23		breq1 4089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 0 ∥ 𝐵))
24	22, 23	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵)))
25	21, 24	bibi12d 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (0 ∥ 𝐷 ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵))))
26		0zd 9481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
27	25, 10, 26	rspcdva 2913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 ∥ 𝐷 ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵)))
28	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (0 ∥ 𝐷 ↔ (0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵)))
29	18	nn0zd 9590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℤ)
30		0dvds 12362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 = 0))
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (0 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 = 0))
32		bezoutlemgcd.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℤ)
34		0dvds 12362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐴 ↔ 𝐴 = 0))
35	33, 34	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (0 ∥ 𝐴 ↔ 𝐴 = 0))
36		bezoutlemgcd.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
37	36	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
38		0dvds 12362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
40	35, 39	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ((0 ∥ 𝐴 ∧ 0 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
41	28, 31, 40	3bitr3d 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝐷 = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
42	20, 41	mtbird 677	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → ¬ 𝐷 = 0)
43	42	neqned 2407	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐷 ≠ 0)
44		elnnne0 9406	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ ↔ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ≠ 0))
45	18, 43, 44	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℕ)
46		dvdsle 12395	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝐷 → 𝑧 ≤ 𝐷))
47	14, 45, 46	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝐷 → 𝑧 ≤ 𝐷))
48	16, 47	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → 𝑧 ≤ 𝐷)
49	48	ex 115	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷))
50	49	ralrimiva 2603	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∀wral 2508   class class class wbr 4086  0cc0 8022   ≤ cle 8205  ℕcn 9133  ℕ₀cn0 9392  ℤcz 9469   ∥ cdvds 12338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-q 9844  df-dvds 12339

This theorem is referenced by:  bezoutlemsup  12570