ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzo1fzo0n0 GIF version

Theorem fzo1fzo0n0 10182
Description: An integer between 1 and an upper bound of a half-open integer range is not 0 and between 0 and the upper bound of the half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzo1fzo0n0 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))

Proof of Theorem fzo1fzo0n0
StepHypRef Expression
1 elfzo2 10149 . . 3 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2 elnnuz 9563 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ (ℤ‘1))
3 nnnn0 9182 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
43adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
54adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
6 nngt0 8943 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
7 0red 7957 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
8 nnre 8925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
98adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
10 zre 9256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
1110adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
12 lttr 8030 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐾𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
137, 9, 11, 12syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((0 < 𝐾𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
14 elnnz 9262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
1514simplbi2 385 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
1615adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
1713, 16syld 45 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((0 < 𝐾𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ))
1817exp4b 367 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ → (0 < 𝐾 → (𝐾 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))))
1918com13 80 . . . . . . . . . . 11 (0 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))))
206, 19mpcom 36 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ)))
2120imp31 256 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
22 simpr 110 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
235, 21, 223jca 1177 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2423exp31 364 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))))
252, 24sylbir 135 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ‘1) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))))
26253imp 1193 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
27 elfzo0 10181 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2826, 27sylibr 134 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
29 nnne0 8946 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
302, 29sylbir 135 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ‘1) → 𝐾 ≠ 0)
31303ad2ant1 1018 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
3228, 31jca 306 . . 3 ((𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))
331, 32sylbi 121 . 2 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))
34 elnnne0 9189 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0))
35 nnge1 8941 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
3634, 35sylbir 135 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0) → 1 ≤ 𝐾)
37363ad2antl1 1159 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 1 ≤ 𝐾)
38 simpl3 1002 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 < 𝑁)
39 nn0z 9272 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
4039adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
41 1zzd 9279 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
42 nnz 9271 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4342adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4440, 41, 433jca 1177 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
45443adant3 1017 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
4645adantr 276 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
47 elfzo 10148 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑁)))
4846, 47syl 14 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑁)))
4937, 38, 48mpbir2and 944 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁))
5027, 49sylanb 284 . 2 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁))
5133, 50impbii 126 1 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978  wcel 2148  wne 2347   class class class wbr 4003  cfv 5216  (class class class)co 5874  cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   < clt 7991  cle 7992  cn 8918  0cn0 9175  cz 9252  cuz 9527  ..^cfzo 10141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-fz 10008  df-fzo 10142
This theorem is referenced by:  modprmn0modprm0  12255
  Copyright terms: Public domain W3C validator