ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzo1fzo0n0 GIF version

Theorem fzo1fzo0n0 9483
Description: An integer between 1 and an upper bound of a half-open integer range is not 0 and between 0 and the upper bound of the half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzo1fzo0n0 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))

Proof of Theorem fzo1fzo0n0
StepHypRef Expression
1 elfzo2 9451 . . 3 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2 elnnuz 8950 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ (ℤ‘1))
3 nnnn0 8572 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
43adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
54adantr 270 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
6 nngt0 8341 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
7 0red 7392 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
8 nnre 8323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
98adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
10 zre 8650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
1110adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
12 lttr 7462 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐾𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
137, 9, 11, 12syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((0 < 𝐾𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
14 elnnz 8656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
1514simplbi2 377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
1615adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
1713, 16syld 44 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((0 < 𝐾𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ))
1817exp4b 359 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ → (0 < 𝐾 → (𝐾 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))))
1918com13 79 . . . . . . . . . . 11 (0 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))))
206, 19mpcom 36 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ)))
2120imp31 252 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
22 simpr 108 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
235, 21, 223jca 1119 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2423exp31 356 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))))
252, 24sylbir 133 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ‘1) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))))
26253imp 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
27 elfzo0 9482 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2826, 27sylibr 132 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
29 nnne0 8344 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
302, 29sylbir 133 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ‘1) → 𝐾 ≠ 0)
31303ad2ant1 960 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
3228, 31jca 300 . . 3 ((𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))
331, 32sylbi 119 . 2 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))
34 elnnne0 8579 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0))
35 nnge1 8339 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
3634, 35sylbir 133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0) → 1 ≤ 𝐾)
37363ad2antl1 1101 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 1 ≤ 𝐾)
38 simpl3 944 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 < 𝑁)
39 nn0z 8666 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
4039adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
41 1zzd 8673 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
42 nnz 8665 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4342adantl 271 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4440, 41, 433jca 1119 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
45443adant3 959 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
4645adantr 270 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
47 elfzo 9450 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑁)))
4846, 47syl 14 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑁)))
4937, 38, 48mpbir2and 886 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁))
5027, 49sylanb 278 . 2 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁))
5133, 50impbii 124 1 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 920  wcel 1434  wne 2249   class class class wbr 3811  cfv 4969  (class class class)co 5591  cr 7252  0cc0 7253  1c1 7254   < clt 7425  cle 7426  cn 8316  0cn0 8565  cz 8646  cuz 8914  ..^cfzo 9443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-ltadd 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-fz 9320  df-fzo 9444
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator