Theorem fzo1fzo0n0 10578

Description: An integer between 1 and an upper bound of a half-open integer range is not 0 and between 0 and the upper bound of the half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzo1fzo0n0	⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))

Proof of Theorem fzo1fzo0n0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2 10540	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2		elnnuz 9942	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1))
3		nnnn0 9553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
5	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
6		nngt0 9312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
7		0red 8321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
8		nnre 9294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
10		zre 9631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
12		lttr 8393	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((0 < 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
14		elnnz 9637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
15	14	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
17	13, 16	syld 45	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((0 < 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ))
18	17	exp4b 367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ → (0 < 𝐾 → (𝐾 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))))
19	18	com13 80	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))))
20	6, 19	mpcom 36	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ)))
21	20	imp31 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
22		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
23	5, 21, 22	3jca 1208	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
24	23	exp31 364	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))))
25	2, 24	sylbir 135	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))))
26	25	3imp 1224	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
27		elfzo0 10576	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
28	26, 27	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
29		nnne0 9315	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
30	2, 29	sylbir 135	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝐾 ≠ 0)
31	30	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
32	28, 31	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))
33	1, 32	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))
34		elnnne0 9560	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≠ 0))
35		nnge1 9310	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
36	34, 35	sylbir 135	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≠ 0) → 1 ≤ 𝐾)
37	36	3ad2antl1 1190	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 1 ≤ 𝐾)
38		simpl3 1033	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 < 𝑁)
39		nn0z 9647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
40	39	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
41		1zzd 9654	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
42		nnz 9646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
43	42	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
44	40, 41, 43	3jca 1208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
45	44	3adant3 1048	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
46	45	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
47		elfzo 10539	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
48	46, 47	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁)))
49	37, 38, 48	mpbir2and 957	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁))
50	27, 49	sylanb 284	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁))
51	33, 50	impbii 126	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℝcr 8172  0cc0 8173  1c1 8174   < clt 8354   ≤ cle 8355  ℕcn 9287  ℕ₀cn0 9546  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904  ..^cfzo 10532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-fzo 10533

This theorem is referenced by:  modprmn0modprm0  13018