ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzo1fzo0n0 GIF version

Theorem fzo1fzo0n0 9559
Description: An integer between 1 and an upper bound of a half-open integer range is not 0 and between 0 and the upper bound of the half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzo1fzo0n0 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))

Proof of Theorem fzo1fzo0n0
StepHypRef Expression
1 elfzo2 9526 . . 3 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2 elnnuz 9024 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ (ℤ‘1))
3 nnnn0 8650 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
43adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
54adantr 270 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
6 nngt0 8419 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
7 0red 7468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
8 nnre 8401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
98adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
10 zre 8724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
1110adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
12 lttr 7538 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐾𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
137, 9, 11, 12syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((0 < 𝐾𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
14 elnnz 8730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
1514simplbi2 377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
1615adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
1713, 16syld 44 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((0 < 𝐾𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ))
1817exp4b 359 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℕ → (0 < 𝐾 → (𝐾 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))))
1918com13 79 . . . . . . . . . . 11 (0 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ))))
206, 19mpcom 36 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ)))
2120imp31 252 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
22 simpr 108 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
235, 21, 223jca 1123 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2423exp31 356 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))))
252, 24sylbir 133 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ‘1) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))))
26253imp 1137 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
27 elfzo0 9558 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2826, 27sylibr 132 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
29 nnne0 8422 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
302, 29sylbir 133 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ‘1) → 𝐾 ≠ 0)
31303ad2ant1 964 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
3228, 31jca 300 . . 3 ((𝐾 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))
331, 32sylbi 119 . 2 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))
34 elnnne0 8657 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0))
35 nnge1 8417 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
3634, 35sylbir 133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0) → 1 ≤ 𝐾)
37363ad2antl1 1105 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 1 ≤ 𝐾)
38 simpl3 948 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 < 𝑁)
39 nn0z 8740 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
4039adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
41 1zzd 8747 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
42 nnz 8739 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4342adantl 271 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4440, 41, 433jca 1123 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
45443adant3 963 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
4645adantr 270 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
47 elfzo 9525 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑁)))
4846, 47syl 14 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑁)))
4937, 38, 48mpbir2and 890 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁))
5027, 49sylanb 278 . 2 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (1..^𝑁))
5133, 50impbii 124 1 (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 924  wcel 1438  wne 2255   class class class wbr 3837  cfv 5002  (class class class)co 5634  cr 7328  0cc0 7329  1c1 7330   < clt 7501  cle 7502  cn 8394  0cn0 8643  cz 8720  cuz 8988  ..^cfzo 9518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394  df-fzo 9519
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator