Theorem eucalgval2 12036

Description: The value of the step function 𝐸 for Euclid's Algorithm on an ordered pair. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eucalgval.1	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℕ0, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩))

Assertion

Ref	Expression
eucalgval2	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐸𝑁) = if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem eucalgval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opexg 4225	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ⟨𝑀, 𝑁⟩ ∈ V)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ⟨𝑀, 𝑁⟩ ∈ V)
3		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 9362	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑁 = 0)
9	8	neqned 2354	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
10		elnnne0 9179	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
11	4, 9, 10	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
12	7, 11	zmodcld 10331	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑀 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
13		opexg 4225	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 mod 𝑁) ∈ ℕ0) → ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩ ∈ V)
14	4, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩ ∈ V)
15	3	nn0zd 9362	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
16		0zd 9254	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
17		zdceq 9317	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → DECID 𝑁 = 0)
19	2, 14, 18	ifcldadc 3563	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩) ∈ V)
20		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑀 ∧ 𝑦 = 𝑁) → 𝑦 = 𝑁)
21	20	eqeq1d 2186	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑀 ∧ 𝑦 = 𝑁) → (𝑦 = 0 ↔ 𝑁 = 0))
22		opeq12 3778	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑀 ∧ 𝑦 = 𝑁) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑀, 𝑁⟩)
23		oveq12 5878	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑀 ∧ 𝑦 = 𝑁) → (𝑥 mod 𝑦) = (𝑀 mod 𝑁))
24	20, 23	opeq12d 3784	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑀 ∧ 𝑦 = 𝑁) → ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩ = ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩)
25	21, 22, 24	ifbieq12d 3560	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑀 ∧ 𝑦 = 𝑁) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) = if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩))
26		eucalgval.1	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℕ0, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩))
27	25, 26	ovmpoga 5998	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩) ∈ V) → (𝑀𝐸𝑁) = if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩))
28	19, 27	mpd3an3 1338	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐸𝑁) = if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  Vcvv 2737  ifcif 3534  ⟨cop 3594  (class class class)co 5869   ∈ cmpo 5871  0cc0 7802  ℕcn 8908  ℕ₀cn0 9165  ℤcz 9242   mod cmo 10308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-q 9609  df-rp 9641  df-fl 10256  df-mod 10309

This theorem is referenced by:  eucalgval  12037