Theorem eucalgval2 12419

Description: The value of the step function 𝐸 for Euclid's Algorithm on an ordered pair. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eucalgval.1	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℕ0, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩))

Assertion

Ref	Expression
eucalgval2	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐸𝑁) = if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem eucalgval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opexg 4276	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ⟨𝑀, 𝑁⟩ ∈ V)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ⟨𝑀, 𝑁⟩ ∈ V)
3		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 9500	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑁 = 0)
9	8	neqned 2384	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
10		elnnne0 9316	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
11	4, 9, 10	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
12	7, 11	zmodcld 10497	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑀 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
13		opexg 4276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 mod 𝑁) ∈ ℕ0) → ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩ ∈ V)
14	4, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩ ∈ V)
15	3	nn0zd 9500	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
16		0zd 9391	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
17		zdceq 9455	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → DECID 𝑁 = 0)
19	2, 14, 18	ifcldadc 3601	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩) ∈ V)
20		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑀 ∧ 𝑦 = 𝑁) → 𝑦 = 𝑁)
21	20	eqeq1d 2215	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑀 ∧ 𝑦 = 𝑁) → (𝑦 = 0 ↔ 𝑁 = 0))
22		opeq12 3823	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑀 ∧ 𝑦 = 𝑁) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑀, 𝑁⟩)
23		oveq12 5960	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑀 ∧ 𝑦 = 𝑁) → (𝑥 mod 𝑦) = (𝑀 mod 𝑁))
24	20, 23	opeq12d 3829	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑀 ∧ 𝑦 = 𝑁) → ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩ = ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩)
25	21, 22, 24	ifbieq12d 3598	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑀 ∧ 𝑦 = 𝑁) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) = if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩))
26		eucalgval.1	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℕ0, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩))
27	25, 26	ovmpoga 6082	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩) ∈ V) → (𝑀𝐸𝑁) = if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩))
28	19, 27	mpd3an3 1351	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐸𝑁) = if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  Vcvv 2773  ifcif 3572  ⟨cop 3637  (class class class)co 5951   ∈ cmpo 5953  0cc0 7932  ℕcn 9043  ℕ₀cn0 9302  ℤcz 9379   mod cmo 10474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-n0 9303  df-z 9380  df-q 9748  df-rp 9783  df-fl 10420  df-mod 10475

This theorem is referenced by:  eucalgval  12420