Theorem eucalgval2 12758

Description: The value of the step function 𝐸 for Euclid's Algorithm on an ordered pair. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eucalgval.1	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℕ0, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩))

Assertion

Ref	Expression
eucalgval2	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐸𝑁) = if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem eucalgval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opexg 4346	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ⟨𝑀, 𝑁⟩ ∈ V)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ⟨𝑀, 𝑁⟩ ∈ V)
3		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 9704	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑁 = 0)
9	8	neqned 2421	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
10		elnnne0 9515	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
11	4, 9, 10	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
12	7, 11	zmodcld 10714	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (𝑀 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
13		opexg 4346	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 mod 𝑁) ∈ ℕ0) → ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩ ∈ V)
14	4, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩ ∈ V)
15	3	nn0zd 9704	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
16		0zd 9594	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
17		zdceq 9658	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → DECID 𝑁 = 0)
19	2, 14, 18	ifcldadc 3654	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩) ∈ V)
20		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑀 ∧ 𝑦 = 𝑁) → 𝑦 = 𝑁)
21	20	eqeq1d 2243	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑀 ∧ 𝑦 = 𝑁) → (𝑦 = 0 ↔ 𝑁 = 0))
22		opeq12 3887	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑀 ∧ 𝑦 = 𝑁) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑀, 𝑁⟩)
23		oveq12 6061	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑀 ∧ 𝑦 = 𝑁) → (𝑥 mod 𝑦) = (𝑀 mod 𝑁))
24	20, 23	opeq12d 3893	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑀 ∧ 𝑦 = 𝑁) → ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩ = ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩)
25	21, 22, 24	ifbieq12d 3651	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑀 ∧ 𝑦 = 𝑁) → if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩) = if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩))
26		eucalgval.1	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℕ0, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑦, (𝑥 mod 𝑦)⟩))
27	25, 26	ovmpoga 6185	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩) ∈ V) → (𝑀𝐸𝑁) = if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩))
28	19, 27	mpd3an3 1375	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐸𝑁) = if(𝑁 = 0, ⟨𝑀, 𝑁⟩, ⟨𝑁, (𝑀 mod 𝑁)⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  Vcvv 2815  ifcif 3622  ⟨cop 3694  (class class class)co 6052   ∈ cmpo 6054  0cc0 8132  ℕcn 9242  ℕ₀cn0 9501  ℤcz 9582   mod cmo 10691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-n0 9502  df-z 9583  df-q 9958  df-rp 9993  df-fl 10637  df-mod 10692

This theorem is referenced by:  eucalgval  12759