Theorem fihasheqf1oi 10802

Description: The size of two finite sets is equal if there is a bijection mapping one of the sets onto the other. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihasheqf1oi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))

Proof of Theorem fihasheqf1oi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1odm 5484	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
2	1	eleq1d 2258	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (dom 𝐹 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
3	2	biimparc 299	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → dom 𝐹 ∈ Fin)
4		f1ofun 5482	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → Fun 𝐹)
5	4	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → Fun 𝐹)
6		fundmfibi 6969	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
8	3, 7	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
9		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
10		f1oeq1 5468	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵))
11	10	spcegv 2840	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
12	8, 9, 11	sylc 62	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)
13		f1ofi 6973	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
14		hasheqf1o 10800	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
15	13, 14	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
16	12, 15	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2160  dom cdm 4644  Fun wfun 5229  –1-1-onto→wf1o 5234  ‘cfv 5235  Fincfn 6767  ♯chash 10790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-recs 6331  df-frec 6417  df-1o 6442  df-er 6560  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-ihash 10791

This theorem is referenced by:  fihashf1rn  10803  fihasheqf1od  10804  fsum3  11430