Theorem fihasheqf1oi 10031

Description: The size of two finite sets is equal if there is a bijection mapping one of the sets onto the other. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihasheqf1oi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))

Proof of Theorem fihasheqf1oi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1odm 5205	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
2	1	eleq1d 2151	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (dom 𝐹 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
3	2	biimparc 293	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → dom 𝐹 ∈ Fin)
4		f1ofun 5203	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → Fun 𝐹)
5	4	adantl 271	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → Fun 𝐹)
6		fundmfibi 6573	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
8	3, 7	mpbird 165	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
9		simpr 108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
10		f1oeq1 5192	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵))
11	10	spcegv 2697	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
12	8, 9, 11	sylc 61	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)
13		f1ofi 6577	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
14		hasheqf1o 10028	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
15	13, 14	syldan 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
16	12, 15	mpbird 165	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1285  ∃wex 1422   ∈ wcel 1434  dom cdm 4401  Fun wfun 4963  –1-1-onto→wf1o 4968  ‘cfv 4969  Fincfn 6387  ♯chash 10018

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-ltadd 7364

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-ilim 4160  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-recs 6002  df-frec 6088  df-1o 6113  df-er 6222  df-en 6388  df-dom 6389  df-fin 6390  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-ihash 10019

This theorem is referenced by:  fihashf1rn  10032  fihasheqf1od  10033