Theorem fihasheqf1oi 11204

Description: The size of two finite sets is equal if there is a bijection mapping one of the sets onto the other. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihasheqf1oi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))

Proof of Theorem fihasheqf1oi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1odm 5638	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
2	1	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (dom 𝐹 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
3	2	biimparc 299	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → dom 𝐹 ∈ Fin)
4		f1ofun 5636	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → Fun 𝐹)
5	4	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → Fun 𝐹)
6		fundmfibi 7242	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
8	3, 7	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
9		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
10		f1oeq1 5622	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵))
11	10	spcegv 2913	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
12	8, 9, 11	sylc 62	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)
13		f1ofi 7247	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
14		hasheqf1o 11202	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
15	13, 14	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
16	12, 15	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  dom cdm 4769  Fun wfun 5366  –1-1-onto→wf1o 5371  ‘cfv 5372  Fincfn 7012  ♯chash 11192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-ihash 11193

This theorem is referenced by:  fihashf1rn  11205  fihasheqf1od  11206  fsum3  12132  2lgslem1  16124