Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fihasheqf1oi GIF version

Theorem fihasheqf1oi 10327
 Description: The size of two finite sets is equal if there is a bijection mapping one of the sets onto the other. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
fihasheqf1oi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))

Proof of Theorem fihasheqf1oi
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1odm 5292 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
21eleq1d 2163 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (dom 𝐹 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
32biimparc 294 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → dom 𝐹 ∈ Fin)
4 f1ofun 5290 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → Fun 𝐹)
54adantl 272 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → Fun 𝐹)
6 fundmfibi 6728 . . . . 5 (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
75, 6syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
83, 7mpbird 166 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐹 ∈ Fin)
9 simpr 109 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
10 f1oeq1 5279 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐵))
1110spcegv 2721 . . 3 (𝐹 ∈ Fin → (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
128, 9, 11sylc 62 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
13 f1ofi 6732 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
14 hasheqf1o 10324 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
1513, 14syldan 277 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
1612, 15mpbird 166 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1296  ∃wex 1433   ∈ wcel 1445  dom cdm 4467  Fun wfun 5043  –1-1-onto→wf1o 5048  ‘cfv 5049  Fincfn 6537  ♯chash 10314 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-recs 6108  df-frec 6194  df-1o 6219  df-er 6332  df-en 6538  df-dom 6539  df-fin 6540  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-ihash 10315 This theorem is referenced by:  fihashf1rn  10328  fihasheqf1od  10329  fsum3  10945
 Copyright terms: Public domain W3C validator