ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgfng GIF version
Theorem mulgfng 12992
Description: Functionality of the group multiple operation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgfn.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
mulgfn.t Β· = (.gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
mulgfng (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ Β· Fn (β„€ Γ— 𝐡))
Proof of Theorem mulgfng
Dummy variables 𝑒 𝑣 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2750 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ V)
2 fn0g 12799 . . . . . . . 8 0g Fn V
3 funfvex 5534 . . . . . . . . 9 ((Fun 0g ∧ 𝐺 ∈ dom 0g) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
43funfni 5318 . . . . . . . 8 ((0g Fn V ∧ 𝐺 ∈ V) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
52, 4mpan 424 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ V β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
61, 5syl 14 . . . . . 6 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
76ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑛 = 0) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
8 nnuz 9565 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
9 1zzd 9282 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 1 ∈ β„€)
10 fvconst2g 5732 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {π‘₯})β€˜π‘’) = π‘₯)
11 simpl 109 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
1210, 11eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {π‘₯})β€˜π‘’) ∈ 𝐡)
1312elexd 2752 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {π‘₯})β€˜π‘’) ∈ V)
1413adantll 476 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {π‘₯})β€˜π‘’) ∈ V)
15 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) β†’ 𝑒 ∈ V)
16 plusgslid 12573 . . . . . . . . . . . . 13 (+g = Slot (+gβ€˜ndx) ∧ (+gβ€˜ndx) ∈ β„•)
1716slotex 12491 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (+gβ€˜πΊ) ∈ V)
1817ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) β†’ (+gβ€˜πΊ) ∈ V)
19 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) β†’ 𝑣 ∈ V)
20 ovexg 5911 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ V ∧ (+gβ€˜πΊ) ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V) β†’ (𝑒(+gβ€˜πΊ)𝑣) ∈ V)
2115, 18, 19, 20syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑒 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)) β†’ (𝑒(+gβ€˜πΊ)𝑣) ∈ V)
228, 9, 14, 21seqf 10463 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯})):β„•βŸΆV)
2322adantrl 478 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯})):β„•βŸΆV)
2423ad2antrr 488 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑛 = 0) ∧ 0 < 𝑛) β†’ seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯})):β„•βŸΆV)
25 simprl 529 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
2625ad2antrr 488 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑛 = 0) ∧ 0 < 𝑛) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
27 simpr 110 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑛 = 0) ∧ 0 < 𝑛) β†’ 0 < 𝑛)
28 elnnz 9265 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↔ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝑛))
2926, 27, 28sylanbrc 417 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑛 = 0) ∧ 0 < 𝑛) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
3024, 29ffvelcdmd 5654 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑛 = 0) ∧ 0 < 𝑛) β†’ (seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜π‘›) ∈ V)
31 mulgfn.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
32 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
3331, 32grpinvfng 12922 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (invgβ€˜πΊ) Fn 𝐡)
34 basfn 12522 . . . . . . . . . . . 12 Base Fn V
35 funfvex 5534 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun Base ∧ 𝐺 ∈ dom Base) β†’ (Baseβ€˜πΊ) ∈ V)
3635funfni 5318 . . . . . . . . . . . 12 ((Base Fn V ∧ 𝐺 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜πΊ) ∈ V)
3734, 36mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ V β†’ (Baseβ€˜πΊ) ∈ V)
3831, 37eqeltrid 2264 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ V β†’ 𝐡 ∈ V)
391, 38syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 ∈ V)
40 fnex 5740 . . . . . . . . 9 (((invgβ€˜πΊ) Fn 𝐡 ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ (invgβ€˜πΊ) ∈ V)
4133, 39, 40syl2anc 411 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (invgβ€˜πΊ) ∈ V)
4241ad3antrrr 492 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑛 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑛) β†’ (invgβ€˜πΊ) ∈ V)
4323ad2antrr 488 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑛 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑛) β†’ seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯})):β„•βŸΆV)
4425znegcld 9379 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ -𝑛 ∈ β„€)
4544ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑛 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑛) β†’ -𝑛 ∈ β„€)
46 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑛 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑛) β†’ Β¬ 𝑛 = 0)
47 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑛 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑛) β†’ Β¬ 0 < 𝑛)
48 ztri3or0 9297 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„€ β†’ (𝑛 < 0 ∨ 𝑛 = 0 ∨ 0 < 𝑛))
4925, 48syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑛 < 0 ∨ 𝑛 = 0 ∨ 0 < 𝑛))
5049ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑛 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑛) β†’ (𝑛 < 0 ∨ 𝑛 = 0 ∨ 0 < 𝑛))
5146, 47, 50ecase23d 1350 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑛 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑛) β†’ 𝑛 < 0)
5225zred 9377 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
5352ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑛 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑛) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
5453lt0neg1d 8474 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑛 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑛) β†’ (𝑛 < 0 ↔ 0 < -𝑛))
5551, 54mpbid 147 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑛 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑛) β†’ 0 < -𝑛)
56 elnnz 9265 . . . . . . . . 9 (-𝑛 ∈ β„• ↔ (-𝑛 ∈ β„€ ∧ 0 < -𝑛))
5745, 55, 56sylanbrc 417 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑛 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑛) β†’ -𝑛 ∈ β„•)
5843, 57ffvelcdmd 5654 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑛 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑛) β†’ (seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜-𝑛) ∈ V)
59 fvexg 5536 . . . . . . 7 (((invgβ€˜πΊ) ∈ V ∧ (seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜-𝑛) ∈ V) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜-𝑛)) ∈ V)
6042, 58, 59syl2anc 411 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑛 = 0) ∧ Β¬ 0 < 𝑛) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜-𝑛)) ∈ V)
61 0zd 9267 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑛 = 0) β†’ 0 ∈ β„€)
62 simplrl 535 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑛 = 0) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
63 zdclt 9332 . . . . . . 7 ((0 ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ DECID 0 < 𝑛)
6461, 62, 63syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑛 = 0) β†’ DECID 0 < 𝑛)
6530, 60, 64ifcldadc 3565 . . . . 5 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑛 = 0) β†’ if(0 < 𝑛, (seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜π‘›), ((invgβ€˜πΊ)β€˜(seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜-𝑛))) ∈ V)
66 0zd 9267 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ 0 ∈ β„€)
67 zdceq 9330 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ DECID 𝑛 = 0)
6825, 66, 67syl2anc 411 . . . . 5 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ DECID 𝑛 = 0)
697, 65, 68ifcldadc 3565 . . . 4 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ if(𝑛 = 0, (0gβ€˜πΊ), if(0 < 𝑛, (seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜π‘›), ((invgβ€˜πΊ)β€˜(seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜-𝑛)))) ∈ V)
7069ralrimivva 2559 . . 3 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘› ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 if(𝑛 = 0, (0gβ€˜πΊ), if(0 < 𝑛, (seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜π‘›), ((invgβ€˜πΊ)β€˜(seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜-𝑛)))) ∈ V)
71 eqid 2177 . . . 4 (𝑛 ∈ β„€, π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(𝑛 = 0, (0gβ€˜πΊ), if(0 < 𝑛, (seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜π‘›), ((invgβ€˜πΊ)β€˜(seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜-𝑛))))) = (𝑛 ∈ β„€, π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(𝑛 = 0, (0gβ€˜πΊ), if(0 < 𝑛, (seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜π‘›), ((invgβ€˜πΊ)β€˜(seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜-𝑛)))))
7271fnmpo 6205 . . 3 (βˆ€π‘› ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 if(𝑛 = 0, (0gβ€˜πΊ), if(0 < 𝑛, (seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜π‘›), ((invgβ€˜πΊ)β€˜(seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜-𝑛)))) ∈ V β†’ (𝑛 ∈ β„€, π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(𝑛 = 0, (0gβ€˜πΊ), if(0 < 𝑛, (seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜π‘›), ((invgβ€˜πΊ)β€˜(seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜-𝑛))))) Fn (β„€ Γ— 𝐡))
7370, 72syl 14 . 2 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝑛 ∈ β„€, π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(𝑛 = 0, (0gβ€˜πΊ), if(0 < 𝑛, (seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜π‘›), ((invgβ€˜πΊ)β€˜(seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜-𝑛))))) Fn (β„€ Γ— 𝐡))
74 eqid 2177 . . . 4 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
75 eqid 2177 . . . 4 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
76 mulgfn.t . . . 4 Β· = (.gβ€˜πΊ)
7731, 74, 75, 32, 76mulgfvalg 12990 . . 3 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ Β· = (𝑛 ∈ β„€, π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(𝑛 = 0, (0gβ€˜πΊ), if(0 < 𝑛, (seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜π‘›), ((invgβ€˜πΊ)β€˜(seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜-𝑛))))))
7877fneq1d 5308 . 2 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ ( Β· Fn (β„€ Γ— 𝐡) ↔ (𝑛 ∈ β„€, π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if(𝑛 = 0, (0gβ€˜πΊ), if(0 < 𝑛, (seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜π‘›), ((invgβ€˜πΊ)β€˜(seq1((+gβ€˜πΊ), (β„• Γ— {π‘₯}))β€˜-𝑛))))) Fn (β„€ Γ— 𝐡)))
7973, 78mpbird 167 1 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ Β· Fn (β„€ Γ— 𝐡))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 834   ∨ w3o 977   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  Vcvv 2739  ifcif 3536  {csn 3594   class class class wbr 4005   Γ— cxp 4626   Fn wfn 5213  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   ∈ cmpo 5879  β„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   < clt 7994  -cneg 8131  β„•cn 8921  β„€cz 9255  seqcseq 10447  Basecbs 12464  +gcplusg 12538  0gc0g 12710  invgcminusg 12883  .gcmg 12988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-minusg 12886  df-mulg 12989
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator