ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0mhm GIF version

Theorem 0mhm 12872
Description: The constant zero linear function between two monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
0mhm.z 0 = (0g𝑁)
0mhm.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
0mhm ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))

Proof of Theorem 0mhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd))
2 eqid 2177 . . . . . 6 (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
3 0mhm.z . . . . . 6 0 = (0g𝑁)
42, 3mndidcl 12830 . . . . 5 (𝑁 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑁))
54adantl 277 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → 0 ∈ (Base‘𝑁))
6 fconst6g 5414 . . . 4 ( 0 ∈ (Base‘𝑁) → (𝐵 × { 0 }):𝐵⟶(Base‘𝑁))
75, 6syl 14 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (𝐵 × { 0 }):𝐵⟶(Base‘𝑁))
8 simpr 110 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → 𝑁 ∈ Mnd)
9 eqid 2177 . . . . . . . . 9 (+g𝑁) = (+g𝑁)
102, 9, 3mndlid 12835 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (Base‘𝑁)) → ( 0 (+g𝑁) 0 ) = 0 )
1110eqcomd 2183 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (Base‘𝑁)) → 0 = ( 0 (+g𝑁) 0 ))
128, 4, 11syl2anc2 412 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → 0 = ( 0 (+g𝑁) 0 ))
1312adantr 276 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 0 = ( 0 (+g𝑁) 0 ))
14 fn0g 12793 . . . . . . . . 9 0g Fn V
158elexd 2750 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → 𝑁 ∈ V)
16 funfvex 5532 . . . . . . . . . 10 ((Fun 0g𝑁 ∈ dom 0g) → (0g𝑁) ∈ V)
1716funfni 5316 . . . . . . . . 9 ((0g Fn V ∧ 𝑁 ∈ V) → (0g𝑁) ∈ V)
1814, 15, 17sylancr 414 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (0g𝑁) ∈ V)
193, 18eqeltrid 2264 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → 0 ∈ V)
2019adantr 276 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 0 ∈ V)
21 0mhm.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑀)
22 eqid 2177 . . . . . . . . 9 (+g𝑀) = (+g𝑀)
2321, 22mndcl 12823 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
24233expb 1204 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
2524adantlr 477 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
26 fvconst2g 5730 . . . . . 6 (( 0 ∈ V ∧ (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥(+g𝑀)𝑦)) = 0 )
2720, 25, 26syl2anc 411 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥(+g𝑀)𝑦)) = 0 )
28 simprl 529 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
29 fvconst2g 5730 . . . . . . 7 (( 0 ∈ V ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐵 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
3020, 28, 29syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝐵 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
31 simprr 531 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
32 fvconst2g 5730 . . . . . . 7 (( 0 ∈ V ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐵 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
3320, 31, 32syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝐵 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
3430, 33oveq12d 5892 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((𝐵 × { 0 })‘𝑥)(+g𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)) = ( 0 (+g𝑁) 0 ))
3513, 27, 343eqtr4d 2220 . . . 4 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥(+g𝑀)𝑦)) = (((𝐵 × { 0 })‘𝑥)(+g𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)))
3635ralrimivva 2559 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥(+g𝑀)𝑦)) = (((𝐵 × { 0 })‘𝑥)(+g𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)))
37 eqid 2177 . . . . . 6 (0g𝑀) = (0g𝑀)
3821, 37mndidcl 12830 . . . . 5 (𝑀 ∈ Mnd → (0g𝑀) ∈ 𝐵)
3938adantr 276 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (0g𝑀) ∈ 𝐵)
40 fvconst2g 5730 . . . 4 (( 0 ∈ V ∧ (0g𝑀) ∈ 𝐵) → ((𝐵 × { 0 })‘(0g𝑀)) = 0 )
4119, 39, 40syl2anc 411 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → ((𝐵 × { 0 })‘(0g𝑀)) = 0 )
427, 36, 413jca 1177 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → ((𝐵 × { 0 }):𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥(+g𝑀)𝑦)) = (((𝐵 × { 0 })‘𝑥)(+g𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)) ∧ ((𝐵 × { 0 })‘(0g𝑀)) = 0 ))
4321, 2, 22, 9, 37, 3ismhm 12852 . 2 ((𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ ((𝐵 × { 0 }):𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥(+g𝑀)𝑦)) = (((𝐵 × { 0 })‘𝑥)(+g𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)) ∧ ((𝐵 × { 0 })‘(0g𝑀)) = 0 )))
441, 42, 43sylanbrc 417 1 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  Vcvv 2737  {csn 3592   × cxp 4624   Fn wfn 5211  wf 5212  cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12461  +gcplusg 12535  0gc0g 12704  Mndcmnd 12816   MndHom cmhm 12848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-map 6649  df-inn 8919  df-2 8977  df-ndx 12464  df-slot 12465  df-base 12467  df-plusg 12548  df-0g 12706  df-mgm 12774  df-sgrp 12807  df-mnd 12817  df-mhm 12850
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator