Theorem 0mhm 12704

Description: The constant zero linear function between two monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
0mhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑁)
0mhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
0mhm	⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))

Proof of Theorem 0mhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd))
2		eqid 2170	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
3		0mhm.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
4	2, 3	mndidcl 12666	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑁))
5	4	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → 0 ∈ (Base‘𝑁))
6		fconst6g 5396	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑁) → (𝐵 × { 0 }):𝐵⟶(Base‘𝑁))
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (𝐵 × { 0 }):𝐵⟶(Base‘𝑁))
8		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → 𝑁 ∈ Mnd)
9		eqid 2170	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑁) = (+g‘𝑁)
10	2, 9, 3	mndlid 12671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (Base‘𝑁)) → ( 0 (+g‘𝑁) 0 ) = 0 )
11	10	eqcomd 2176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (Base‘𝑁)) → 0 = ( 0 (+g‘𝑁) 0 ))
12	8, 4, 11	syl2anc2 410	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → 0 = ( 0 (+g‘𝑁) 0 ))
13	12	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 0 = ( 0 (+g‘𝑁) 0 ))
14		fn0g 12629	. . . . . . . . 9 ⊢ 0g Fn V
15	8	elexd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → 𝑁 ∈ V)
16		funfvex 5513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun 0g ∧ 𝑁 ∈ dom 0g) → (0g‘𝑁) ∈ V)
17	16	funfni 5298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0g Fn V ∧ 𝑁 ∈ V) → (0g‘𝑁) ∈ V)
18	14, 15, 17	sylancr 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (0g‘𝑁) ∈ V)
19	3, 18	eqeltrid 2257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → 0 ∈ V)
20	19	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 0 ∈ V)
21		0mhm.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
22		eqid 2170	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
23	21, 22	mndcl 12659	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
24	23	3expb 1199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
25	24	adantlr 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
26		fvconst2g 5710	. . . . . 6 ⊢ (( 0 ∈ V ∧ (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = 0 )
27	20, 25, 26	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = 0 )
28		simprl 526	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
29		fvconst2g 5710	. . . . . . 7 ⊢ (( 0 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐵 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
30	20, 28, 29	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐵 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
31		simprr 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
32		fvconst2g 5710	. . . . . . 7 ⊢ (( 0 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐵 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
33	20, 31, 32	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐵 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
34	30, 33	oveq12d 5871	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝐵 × { 0 })‘𝑥)(+g‘𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)) = ( 0 (+g‘𝑁) 0 ))
35	13, 27, 34	3eqtr4d 2213	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = (((𝐵 × { 0 })‘𝑥)(+g‘𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)))
36	35	ralrimivva 2552	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = (((𝐵 × { 0 })‘𝑥)(+g‘𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)))
37		eqid 2170	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
38	21, 37	mndidcl 12666	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
39	38	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
40		fvconst2g 5710	. . . 4 ⊢ (( 0 ∈ V ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐵) → ((𝐵 × { 0 })‘(0g‘𝑀)) = 0 )
41	19, 39, 40	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → ((𝐵 × { 0 })‘(0g‘𝑀)) = 0 )
42	7, 36, 41	3jca 1172	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → ((𝐵 × { 0 }):𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = (((𝐵 × { 0 })‘𝑥)(+g‘𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)) ∧ ((𝐵 × { 0 })‘(0g‘𝑀)) = 0 ))
43	21, 2, 22, 9, 37, 3	ismhm 12685	. 2 ⊢ ((𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ ((𝐵 × { 0 }):𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = (((𝐵 × { 0 })‘𝑥)(+g‘𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)) ∧ ((𝐵 × { 0 })‘(0g‘𝑀)) = 0 )))
44	1, 42, 43	sylanbrc 415	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  Vcvv 2730  {csn 3583   × cxp 4609   Fn wfn 5193  ⟶wf 5194  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  Basecbs 12416  +_gcplusg 12480  0_gc0g 12596  Mndcmnd 12652   MndHom cmhm 12681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-inn 8879  df-2 8937  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422  df-plusg 12493  df-0g 12598  df-mgm 12610  df-sgrp 12643  df-mnd 12653  df-mhm 12683

This theorem is referenced by: (None)