Theorem 0mhm 13632

Description: The constant zero linear function between two monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
0mhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑁)
0mhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
0mhm	⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))

Proof of Theorem 0mhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd))
2		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
3		0mhm.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
4	2, 3	mndidcl 13576	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑁))
5	4	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → 0 ∈ (Base‘𝑁))
6		fconst6g 5544	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑁) → (𝐵 × { 0 }):𝐵⟶(Base‘𝑁))
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (𝐵 × { 0 }):𝐵⟶(Base‘𝑁))
8		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → 𝑁 ∈ Mnd)
9		eqid 2231	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑁) = (+g‘𝑁)
10	2, 9, 3	mndlid 13581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (Base‘𝑁)) → ( 0 (+g‘𝑁) 0 ) = 0 )
11	10	eqcomd 2237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (Base‘𝑁)) → 0 = ( 0 (+g‘𝑁) 0 ))
12	8, 4, 11	syl2anc2 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → 0 = ( 0 (+g‘𝑁) 0 ))
13	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 0 = ( 0 (+g‘𝑁) 0 ))
14		fn0g 13521	. . . . . . . . 9 ⊢ 0g Fn V
15	8	elexd 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → 𝑁 ∈ V)
16		funfvex 5665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun 0g ∧ 𝑁 ∈ dom 0g) → (0g‘𝑁) ∈ V)
17	16	funfni 5439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0g Fn V ∧ 𝑁 ∈ V) → (0g‘𝑁) ∈ V)
18	14, 15, 17	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (0g‘𝑁) ∈ V)
19	3, 18	eqeltrid 2318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → 0 ∈ V)
20	19	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 0 ∈ V)
21		0mhm.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
22		eqid 2231	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
23	21, 22	mndcl 13569	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
24	23	3expb 1231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
25	24	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
26		fvconst2g 5876	. . . . . 6 ⊢ (( 0 ∈ V ∧ (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = 0 )
27	20, 25, 26	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = 0 )
28		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
29		fvconst2g 5876	. . . . . . 7 ⊢ (( 0 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐵 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
30	20, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐵 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
31		simprr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
32		fvconst2g 5876	. . . . . . 7 ⊢ (( 0 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐵 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
33	20, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐵 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
34	30, 33	oveq12d 6046	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝐵 × { 0 })‘𝑥)(+g‘𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)) = ( 0 (+g‘𝑁) 0 ))
35	13, 27, 34	3eqtr4d 2274	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = (((𝐵 × { 0 })‘𝑥)(+g‘𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)))
36	35	ralrimivva 2615	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = (((𝐵 × { 0 })‘𝑥)(+g‘𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)))
37		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
38	21, 37	mndidcl 13576	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
39	38	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
40		fvconst2g 5876	. . . 4 ⊢ (( 0 ∈ V ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐵) → ((𝐵 × { 0 })‘(0g‘𝑀)) = 0 )
41	19, 39, 40	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → ((𝐵 × { 0 })‘(0g‘𝑀)) = 0 )
42	7, 36, 41	3jca 1204	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → ((𝐵 × { 0 }):𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = (((𝐵 × { 0 })‘𝑥)(+g‘𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)) ∧ ((𝐵 × { 0 })‘(0g‘𝑀)) = 0 ))
43	21, 2, 22, 9, 37, 3	ismhm 13607	. 2 ⊢ ((𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ ((𝐵 × { 0 }):𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = (((𝐵 × { 0 })‘𝑥)(+g‘𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)) ∧ ((𝐵 × { 0 })‘(0g‘𝑀)) = 0 )))
44	1, 42, 43	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  Vcvv 2803  {csn 3673   × cxp 4729   Fn wfn 5328  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Basecbs 13145  +_gcplusg 13223  0_gc0g 13402  Mndcmnd 13562   MndHom cmhm 13603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6862  df-inn 9186  df-2 9244  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-mhm 13605

This theorem is referenced by:  0ghm  13908