Theorem 0g0 12630

Description: The identity element function evaluates to the empty set on an empty structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0g0	⊢ ∅ = (0g‘∅)

Proof of Theorem 0g0

Dummy variables 𝑒 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4116	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		base0 12465	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
3		eqid 2170	. . . 4 ⊢ (+g‘∅) = (+g‘∅)
4		eqid 2170	. . . 4 ⊢ (0g‘∅) = (0g‘∅)
5	2, 3, 4	grpidvalg 12627	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (0g‘∅) = (℩𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥))))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0g‘∅) = (℩𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥)))
7		noel 3418	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑒 ∈ ∅
8	7	intnanr 925	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥))
9	8	nex 1493	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥))
10		euex 2049	. . . 4 ⊢ (∃!𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥)) → ∃𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥)))
11	9, 10	mto 657	. . 3 ⊢ ¬ ∃!𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥))
12		iotanul 5175	. . 3 ⊢ (¬ ∃!𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥)) → (℩𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥))) = ∅)
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (℩𝑒(𝑒 ∈ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ((𝑒(+g‘∅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘∅)𝑒) = 𝑥))) = ∅
14	6, 13	eqtr2i 2192	1 ⊢ ∅ = (0g‘∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 103   = wceq 1348  ∃wex 1485  ∃!weu 2019   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  Vcvv 2730  ∅c0 3414  ℩cio 5158  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  +_gcplusg 12480  0_gc0g 12596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-inn 8879  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422  df-0g 12598

This theorem is referenced by: (None)