ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3feq2 GIF version

Theorem seq3feq2 10369
Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3fveq2.1 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
seq3fveq2.2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
seq3fveq2.f ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
seq3fveq2.g ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
seq3fveq2.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seq3feq2.4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
seq3feq2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥,𝑦   𝑘,𝐾,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑥,𝑦   + ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3feq2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2157 . . . . 5 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 seq3fveq2.1 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
3 eluzel2 9444 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
42, 3syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 seq3fveq2.f . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
6 seq3fveq2.pl . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
71, 4, 5, 6seqf 10360 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶𝑆)
87ffnd 5320 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
9 uzss 9459 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
102, 9syl 14 . . 3 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
11 fnssres 5283 . . 3 ((seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀) ∧ (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) Fn (ℤ𝐾))
128, 10, 11syl2anc 409 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) Fn (ℤ𝐾))
13 eqid 2157 . . . 4 (ℤ𝐾) = (ℤ𝐾)
14 eluzelz 9448 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
152, 14syl 14 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
16 seq3fveq2.g . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
1713, 15, 16, 6seqf 10360 . . 3 (𝜑 → seq𝐾( + , 𝐺):(ℤ𝐾)⟶𝑆)
1817ffnd 5320 . 2 (𝜑 → seq𝐾( + , 𝐺) Fn (ℤ𝐾))
19 fvres 5492 . . . 4 (𝑧 ∈ (ℤ𝐾) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑧))
2019adantl 275 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑧))
212adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
22 seq3fveq2.2 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
2322adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
245adantlr 469 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
2516adantlr 469 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
266adantlr 469 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
27 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑧 ∈ (ℤ𝐾))
28 elfzuz 9924 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
29 seq3feq2.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
3028, 29sylan2 284 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
3130adantlr 469 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
3221, 23, 24, 25, 26, 27, 31seq3fveq2 10368 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑧) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑧))
3320, 32eqtrd 2190 . 2 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑧) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑧))
3412, 18, 33eqfnfvd 5568 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1335  wcel 2128  wss 3102  cres 4588   Fn wfn 5165  cfv 5170  (class class class)co 5824  1c1 7733   + caddc 7735  cz 9167  cuz 9439  ...cfz 9912  seqcseq 10344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-ltadd 7848
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-fz 9913  df-seqfrec 10345
This theorem is referenced by:  seq3id  10407
  Copyright terms: Public domain W3C validator