Theorem seq3feq2 10602

Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3fveq2.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seq3fveq2.2	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
seq3fveq2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seq3fveq2.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
seq3fveq2.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seq3feq2.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
seq3feq2	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥,𝑦   𝑘,𝐾,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑥,𝑦   + ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3feq2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		seq3fveq2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		eluzel2 9635	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		seq3fveq2.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
6		seq3fveq2.pl	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
7	1, 4, 5, 6	seqf 10590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆)
8	7	ffnd 5420	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
9		uzss 9651	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
10	2, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
11		fnssres 5383	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀) ∧ (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) Fn (ℤ≥‘𝐾))
12	8, 10, 11	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) Fn (ℤ≥‘𝐾))
13		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝐾) = (ℤ≥‘𝐾)
14		eluzelz 9639	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
15	2, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
16		seq3fveq2.g	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
17	13, 15, 16, 6	seqf 10590	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝐾( + , 𝐺):(ℤ≥‘𝐾)⟶𝑆)
18	17	ffnd 5420	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝐾( + , 𝐺) Fn (ℤ≥‘𝐾))
19		fvres 5594	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾))‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑧))
20	19	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾))‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑧))
21	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22		seq3fveq2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
23	22	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
24	5	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
25	16	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
26	6	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
27		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
28		elfzuz 10125	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
29		seq3feq2.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
30	28, 29	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
31	30	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
32	21, 23, 24, 25, 26, 27, 31	seq3fveq2 10601	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑧) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑧))
33	20, 32	eqtrd 2237	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾))‘𝑧) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑧))
34	12, 18, 33	eqfnfvd 5674	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ⊆ wss 3165   ↾ cres 4675   Fn wfn 5263  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  1c1 7908   + caddc 7910  ℤcz 9354  ℤ_≥cuz 9630  ...cfz 10112  seqcseq 10573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-frec 6467  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-inn 9019  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-fz 10113  df-seqfrec 10574

This theorem is referenced by:  seq3id  10651