ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3feq2 GIF version

Theorem seq3feq2 10470
Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3fveq2.1 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
seq3fveq2.2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
seq3fveq2.f ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
seq3fveq2.g ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
seq3fveq2.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seq3feq2.4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
seq3feq2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥,𝑦   𝑘,𝐾,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑥,𝑦   + ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3feq2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . . 5 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 seq3fveq2.1 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
3 eluzel2 9533 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
42, 3syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 seq3fveq2.f . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
6 seq3fveq2.pl . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
71, 4, 5, 6seqf 10461 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶𝑆)
87ffnd 5367 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
9 uzss 9548 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
102, 9syl 14 . . 3 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
11 fnssres 5330 . . 3 ((seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀) ∧ (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) Fn (ℤ𝐾))
128, 10, 11syl2anc 411 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) Fn (ℤ𝐾))
13 eqid 2177 . . . 4 (ℤ𝐾) = (ℤ𝐾)
14 eluzelz 9537 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
152, 14syl 14 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
16 seq3fveq2.g . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
1713, 15, 16, 6seqf 10461 . . 3 (𝜑 → seq𝐾( + , 𝐺):(ℤ𝐾)⟶𝑆)
1817ffnd 5367 . 2 (𝜑 → seq𝐾( + , 𝐺) Fn (ℤ𝐾))
19 fvres 5540 . . . 4 (𝑧 ∈ (ℤ𝐾) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑧))
2019adantl 277 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑧))
212adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
22 seq3fveq2.2 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
2322adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
245adantlr 477 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
2516adantlr 477 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
266adantlr 477 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
27 simpr 110 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑧 ∈ (ℤ𝐾))
28 elfzuz 10021 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
29 seq3feq2.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
3028, 29sylan2 286 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
3130adantlr 477 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
3221, 23, 24, 25, 26, 27, 31seq3fveq2 10469 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑧) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑧))
3320, 32eqtrd 2210 . 2 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑧) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑧))
3412, 18, 33eqfnfvd 5617 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wss 3130  cres 4629   Fn wfn 5212  cfv 5217  (class class class)co 5875  1c1 7812   + caddc 7814  cz 9253  cuz 9528  ...cfz 10008  seqcseq 10445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009  df-seqfrec 10446
This theorem is referenced by:  seq3id  10508
  Copyright terms: Public domain W3C validator