Theorem seq3feq2 10728

Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3fveq2.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seq3fveq2.2	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
seq3fveq2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seq3fveq2.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
seq3fveq2.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seq3feq2.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
seq3feq2	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥,𝑦   𝑘,𝐾,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑥,𝑦   + ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3feq2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		seq3fveq2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		eluzel2 9750	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		seq3fveq2.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
6		seq3fveq2.pl	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
7	1, 4, 5, 6	seqf 10716	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆)
8	7	ffnd 5480	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
9		uzss 9767	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
10	2, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
11		fnssres 5442	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀) ∧ (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) Fn (ℤ≥‘𝐾))
12	8, 10, 11	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) Fn (ℤ≥‘𝐾))
13		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝐾) = (ℤ≥‘𝐾)
14		eluzelz 9755	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
15	2, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
16		seq3fveq2.g	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
17	13, 15, 16, 6	seqf 10716	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝐾( + , 𝐺):(ℤ≥‘𝐾)⟶𝑆)
18	17	ffnd 5480	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝐾( + , 𝐺) Fn (ℤ≥‘𝐾))
19		fvres 5659	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾))‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑧))
20	19	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾))‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑧))
21	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22		seq3fveq2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
23	22	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
24	5	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
25	16	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
26	6	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
27		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
28		elfzuz 10246	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
29		seq3feq2.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
30	28, 29	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
31	30	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
32	21, 23, 24, 25, 26, 27, 31	seq3fveq2 10727	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑧) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑧))
33	20, 32	eqtrd 2262	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾))‘𝑧) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑧))
34	12, 18, 33	eqfnfvd 5743	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3198   ↾ cres 4725   Fn wfn 5319  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  1c1 8023   + caddc 8025  ℤcz 9469  ℤ_≥cuz 9745  ...cfz 10233  seqcseq 10699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234  df-seqfrec 10700

This theorem is referenced by:  seq3id  10777