Theorem seq3feq2 10547

Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3fveq2.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seq3fveq2.2	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
seq3fveq2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seq3fveq2.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
seq3fveq2.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seq3feq2.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
seq3feq2	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥,𝑦   𝑘,𝐾,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑥,𝑦   + ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3feq2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		seq3fveq2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		eluzel2 9597	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		seq3fveq2.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
6		seq3fveq2.pl	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
7	1, 4, 5, 6	seqf 10535	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆)
8	7	ffnd 5404	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
9		uzss 9613	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
10	2, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
11		fnssres 5367	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀) ∧ (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) Fn (ℤ≥‘𝐾))
12	8, 10, 11	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) Fn (ℤ≥‘𝐾))
13		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝐾) = (ℤ≥‘𝐾)
14		eluzelz 9601	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
15	2, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
16		seq3fveq2.g	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
17	13, 15, 16, 6	seqf 10535	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝐾( + , 𝐺):(ℤ≥‘𝐾)⟶𝑆)
18	17	ffnd 5404	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝐾( + , 𝐺) Fn (ℤ≥‘𝐾))
19		fvres 5578	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾))‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑧))
20	19	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾))‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑧))
21	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22		seq3fveq2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
23	22	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
24	5	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
25	16	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
26	6	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
27		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
28		elfzuz 10087	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
29		seq3feq2.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
30	28, 29	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
31	30	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
32	21, 23, 24, 25, 26, 27, 31	seq3fveq2 10546	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑧) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑧))
33	20, 32	eqtrd 2226	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾))‘𝑧) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑧))
34	12, 18, 33	eqfnfvd 5658	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3153   ↾ cres 4661   Fn wfn 5249  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  1c1 7873   + caddc 7875  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592  ...cfz 10074  seqcseq 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-seqfrec 10519

This theorem is referenced by:  seq3id  10596