Theorem reeff1 11865

Description: The exponential function maps real arguments one-to-one to positive reals. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
reeff1	⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+

Proof of Theorem reeff1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eff 11828	. . . . 5 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
2		ffn 5407	. . . . 5 ⊢ (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ exp Fn ℂ
4		ax-resscn 7971	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5		fnssres 5371	. . . 4 ⊢ ((exp Fn ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (exp ↾ ℝ) Fn ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 ⊢ (exp ↾ ℝ) Fn ℝ
7		fvres 5582	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
8		rpefcl 11850	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
9	7, 8	eqeltrd 2273	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) ∈ ℝ+)
10	9	rgen 2550	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) ∈ ℝ+
11		ffnfv 5720	. . 3 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) ∈ ℝ+))
12	6, 10, 11	mpbir2an 944	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+
13		fvres 5582	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) = (exp‘𝑦))
14	7, 13	eqeqan12d 2212	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) ↔ (exp‘𝑥) = (exp‘𝑦)))
15		reef11 11864	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) = (exp‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
16	15	biimpd 144	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) = (exp‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
17	14, 16	sylbid 150	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
18	17	rgen2a 2551	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
19		dff13 5815	. 2 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
20	12, 18, 19	mpbir2an 944	1 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   ⊆ wss 3157   ↾ cres 4665   Fn wfn 5253  ⟶wf 5254  –1-1→wf1 5255  ‘cfv 5258  ℂcc 7877  ℝcr 7878  ℝ⁺crp 9728  expce 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-disj 4011  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-ico 9969  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-fac 10818  df-bc 10840  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-ef 11813

This theorem is referenced by:  reeff1o  15009  relogef  15100