Theorem grpinvcnv 13873

Description: The group inverse is its own inverse function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcnv	⊢ (𝐺 ∈ Grp → ◡𝑁 = 𝑁)

Proof of Theorem grpinvcnv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁‘𝑥))
2		grpinvinv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpinvinv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
4	2, 3	grpinvcl 13853	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑥) ∈ 𝐵)
5	2, 3	grpinvcl 13853	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑦) ∈ 𝐵)
6		eqid 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7		eqid 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
8	2, 6, 7, 3	grpinvid1 13857	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑦) = 𝑥 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
9	8	3com23 1240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑦) = 𝑥 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
10	2, 6, 7, 3	grpinvid2 13858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
11	9, 10	bitr4d 191	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑦) = 𝑥 ↔ (𝑁‘𝑥) = 𝑦))
12	11	3expb 1235	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑁‘𝑦) = 𝑥 ↔ (𝑁‘𝑥) = 𝑦))
13		eqcom 2240	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑁‘𝑦) ↔ (𝑁‘𝑦) = 𝑥)
14		eqcom 2240	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑁‘𝑥) ↔ (𝑁‘𝑥) = 𝑦)
15	12, 13, 14	3bitr4g 223	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 = (𝑁‘𝑦) ↔ 𝑦 = (𝑁‘𝑥)))
16	1, 4, 5, 15	f1ocnv2d 6294	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁‘𝑥)):𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ ◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁‘𝑦))))
17	16	simprd 114	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁‘𝑦)))
18	2, 3	grpinvf 13852	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
19	18	feqmptd 5756	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁‘𝑥)))
20	19	cnveqd 4956	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ◡𝑁 = ◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁‘𝑥)))
21	18	feqmptd 5756	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁‘𝑦)))
22	17, 20, 21	3eqtr4d 2281	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ◡𝑁 = 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ↦ cmpt 4192  ^◡ccnv 4773  –1-1-onto→wf1o 5376  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13352  +_gcplusg 13431  0_gc0g 13610  Grpcgrp 13805  inv_gcminusg 13806

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-inn 9305  df-2 9363  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-minusg 13809

This theorem is used by:  grpinvf1o  13875