Theorem grpinvcnv 13140

Description: The group inverse is its own inverse function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcnv	⊢ (𝐺 ∈ Grp → ◡𝑁 = 𝑁)

Proof of Theorem grpinvcnv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁‘𝑥))
2		grpinvinv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpinvinv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
4	2, 3	grpinvcl 13120	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑥) ∈ 𝐵)
5	2, 3	grpinvcl 13120	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑦) ∈ 𝐵)
6		eqid 2193	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7		eqid 2193	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
8	2, 6, 7, 3	grpinvid1 13124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑦) = 𝑥 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
9	8	3com23 1211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑦) = 𝑥 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
10	2, 6, 7, 3	grpinvid2 13125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
11	9, 10	bitr4d 191	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑦) = 𝑥 ↔ (𝑁‘𝑥) = 𝑦))
12	11	3expb 1206	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑁‘𝑦) = 𝑥 ↔ (𝑁‘𝑥) = 𝑦))
13		eqcom 2195	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑁‘𝑦) ↔ (𝑁‘𝑦) = 𝑥)
14		eqcom 2195	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑁‘𝑥) ↔ (𝑁‘𝑥) = 𝑦)
15	12, 13, 14	3bitr4g 223	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 = (𝑁‘𝑦) ↔ 𝑦 = (𝑁‘𝑥)))
16	1, 4, 5, 15	f1ocnv2d 6122	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁‘𝑥)):𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ ◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁‘𝑦))))
17	16	simprd 114	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁‘𝑦)))
18	2, 3	grpinvf 13119	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵⟶𝐵)
19	18	feqmptd 5610	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁‘𝑥)))
20	19	cnveqd 4838	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ◡𝑁 = ◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁‘𝑥)))
21	18	feqmptd 5610	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁‘𝑦)))
22	17, 20, 21	3eqtr4d 2236	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ◡𝑁 = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ↦ cmpt 4090  ^◡ccnv 4658  –1-1-onto→wf1o 5253  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  0_gc0g 12867  Grpcgrp 13072  inv_gcminusg 13073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-inn 8983  df-2 9041  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076

This theorem is referenced by:  grpinvf1o  13142